Estadística y Machine Learning en economía y finanzas:

el caso de selección de carteras

Prof. Carlos Trucíos
ctrucios@unicamp.br

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC),
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP).

¿Un estadístico trabajando con alocación de carteras?

Todo tiene un comienzo

Introducción

Supongamos que tenemos dos activos, \(A\) y \(B\), en los que estamos interesados en invertir. ¿Cómo asignaría sus recursos en esta inversión?
Supongamos que tenemos dos activos, \(A\) y \(B\), con rendimientos esperados de \(3\) y \(5\), y varianzas de \(2\) y \(4\), respectivamente. ¿Cómo asignaría sus recursos para maximizar su rendimiento esperado y minimizar su riesgo?
Supongamos que tenemos dos activos, \(A\) y \(B\), con rendimientos esperados de \(3\) y \(5\), varianzas de \(2\) y \(4\), respectivamente, y una correlación igual a \(0.5\). ¿Cómo asignaría sus recursos para maximizar su rendimiento esperado y minimizar su riesgo?
Sea \(\boldsymbol{\omega}\) y \(\boldsymbol{\mu}\) los vectores columna de pesos y rendimientos esperados, respectivamente, y sea \(\boldsymbol{\Sigma}\) la matriz de covarianza asociada (riesgo). Queremos maximizar \[ \boldsymbol{\mu}^\top \boldsymbol{\omega} - \delta \, \boldsymbol{\omega}^\top \boldsymbol{\Sigma} \, \boldsymbol{\omega},\] donde \(\delta\) es el parámetro de aversión al riesgo (cuanto mayor, más adversos al riesgo).

Markowitz

Markowitz (1952)

Markowitz

Cuando \(\delta\) es grande, el problema a resolver se convierte, aproximadamente, en minimizar
\[ \boldsymbol{\omega}^\top \boldsymbol{\Sigma} \, \boldsymbol{\omega}, \]

Portafolio conocido como portafolio de varianza mínima.

Vamos a suponer que todo nuestro capital será asignado, es decir, \(\displaystyle \sum_{i = 1}^N \omega_i = 1\)
Entonces, queremos minimizar con restricción

Markowitz

Sea un portafolio con \(N\) activos y matriz de covarianza \(\Sigma\). Queremos minimizar
\[ L(\boldsymbol{\omega}, \lambda) = \boldsymbol{\omega}^\top \Sigma \, \boldsymbol{\omega} + \lambda \, (\boldsymbol{1}^\top \boldsymbol{\omega} - 1), \quad \text{donde} \quad \boldsymbol{1} = [1, 1, \cdots, 1]^\top. \]

Derivando w.r.t. \(\boldsymbol{\omega}\) y \(\lambda\)

Recuerde que

\(\dfrac{\partial \textbf{x}'A \textbf{x}}{\partial \textbf{x}} = (A + A') \textbf{x}\)
\(\dfrac{\partial \textbf{x}' \textbf{a}}{\partial \textbf{x}} = \dfrac{\partial \textbf{a}' \textbf{x}}{\partial \textbf{x}} = a\)
\(\dfrac{\partial^2 \textbf{x}'A \textbf{x}}{\partial \textbf{x} \partial \textbf{x}'} = A' + A\)

\(\dfrac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}} = 2 \Sigma \boldsymbol{\omega} + \lambda \boldsymbol{1}\)
\(\dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = \boldsymbol{1}' \boldsymbol{\omega} - 1\)

Igualando a cero, \(\Sigma \boldsymbol{\omega} = - \dfrac{\lambda \boldsymbol{1}}{2} \rightarrow \boldsymbol{\omega} = \dfrac{-\lambda}{2} \Sigma^{-1} \boldsymbol{1}.\)

Markowitz

Igualando a cero \(\dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = \boldsymbol{1}' \boldsymbol{\omega} - 1\), tenemos:

\[1 = \boldsymbol{1}' \boldsymbol{\omega} = \dfrac{-\lambda}{2} \boldsymbol{1}' \Sigma^{-1} \boldsymbol{1} \rightarrow \lambda = \dfrac{-2}{\boldsymbol{1}' \Sigma^{-1} \boldsymbol{1}}.\]

Luego,

\[\boldsymbol{\omega} = \dfrac{-\lambda}{2} \Sigma^{-1} \boldsymbol{1} = \dfrac{\Sigma^{-1} \boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}' \Sigma^{-1} \boldsymbol{1}},\] son los pesos optimos de la cartera de mínima varianza.

En la práctica, \(\Sigma\) no es conocido y debe ser estimado con los datos (\(\hat{\Sigma}\)).

Hands-On I

Usando los retornos mensuales de las acciones en la B3, calcularemos los pesos para el portafolio de varianza mínima. Utilizaremos los paquetes de R yfR, RiskPortfolios, HierPortfolios, tidyr y dplyr.

Code

library(yfR)
library(dplyr)
library(tidyr)
# Lista de acciones que forman el índice Ibovespa
acoes <- yf_index_composition("IBOV")

Error in dplyr::rename(., ticker = Ticker, company = Company, industry = Industry) : 
  Can't rename columns that don't exist.
✖ Column `Ticker` doesn't exist.

Code

acoes$ticker

 [1] "ALPA4"  "ABEV3"  "AMER3"  "AZUL4"  "B3SA3"  "BBAS3"  "BBSE3"  "BBDC3" 
 [9] "BBDC4"  "BIDI11" "BPAN4"  "BRAP4"  "BRML3"  "BRKM5"  "BRFS3"  "BPAC11"
[17] "CRFB3"  "CCRO3"  "CVCB3"  "CMIG4"  "CIEL3"  "COGN3"  "CPLE6"  "CSAN3" 
[25] "CPFE3"  "CSNA3"  "CYRE3"  "DXCO3"  "ECOR3"  "ENBR3"  "ELET3"  "ELET6" 
[33] "EMBR3"  "ENGI11" "ENEV3"  "EGIE3"  "EQTL3"  "EZTC3"  "GGBR4"  "GOLL4" 
[41] "PCAR3"  "SOMA3"  "FLRY3"  "HAPV3"  "HYPE3"  "IGTI11" "IRBR3"  "ITUB4" 
[49] "ITSA4"  "JBSS3"  "JHSF3"  "KLBN11" "RENT3"  "LWSA3"  "LREN3"  "MGLU3" 
[57] "MRFG3"  "CASH3"  "GOAU4"  "BEEF3"  "MRVE3"  "MULT3"  "NTCO3"  "PETR3" 
[65] "PETR4"  "VBBR3"  "PRIO3"  "PETZ3"  "QUAL3"  "RADL3"  "RDOR3"  "RAIL3" 
[73] "SBSP3"  "SANB11" "ASAI3"  "SULA11" "SUZB3"  "TAEE11" "VIVT3"  "TIMS3" 
[81] "TOTS3"  "UGPA3"  "LCAM3"  "USIM5"  "VALE3"  "VIIA3"  "YDUQ3"  "WEGE3"

Hands-On I

Code

tickers <- paste0(acoes$ticker, ".SA")
# Bajando datos
precios <- yf_get(tickers = tickers, 
                 first_date = "2015-01-01",
                 last_date  = "2025-06-30", 
                 freq_data = "monthly")
glimpse(precios)

Rows: 8,135
Columns: 11
$ ticker                 <chr> "ABEV3.SA", "ABEV3.SA", "ABEV3.SA", "ABEV3.SA",…
$ ref_date               <date> 2015-01-02, 2015-02-02, 2015-03-02, 2015-04-01…
$ volume                 <dbl> 262525100, 193123300, 252616400, 218542400, 205…
$ price_open             <dbl> 17.44, 18.31, 18.40, 18.75, 18.35, 19.00, 19.02…
$ price_high             <dbl> 17.87, 18.88, 18.97, 19.69, 20.29, 19.24, 19.89…
$ price_low              <dbl> 15.54, 17.16, 17.35, 18.42, 18.15, 18.09, 18.39…
$ price_close            <dbl> 17.69, 18.31, 18.48, 18.95, 18.53, 18.99, 19.47…
$ price_adjusted         <dbl> 11.96004, 12.37922, 12.55587, 12.87520, 12.5898…
$ ret_adjusted_prices    <dbl> NA, 0.035047889, 0.014270430, 0.025432663, -0.0…
$ ret_closing_prices     <dbl> NA, 0.035047988, 0.009284548, 0.025432967, -0.0…
$ cumret_adjusted_prices <dbl> 1.0000000, 1.0350479, 1.0498185, 1.0765181, 1.0…

Hands-On I

Code

# Estimamos la matriz de covariancia
Sigma <- precios |> 
  select(ref_date, ticker, ret_adjusted_prices) |> 
  pivot_wider(id_cols = ref_date, values_from = ret_adjusted_prices, names_from = ticker) |> 
  drop_na() |> 
  select(-ref_date) |> 
  cov()

Hands-On I

Code

n <- ncol(Sigma)
ones <- matrix(1, ncol = 1, nrow = n)
w <- as.numeric(1/(t(ones) %*% solve(Sigma) %*% ones)) * solve(Sigma) %*% ones
round(w, 4)

             [,1]
ABEV3.SA   0.0068
ALPA4.SA   0.0160
AMER3.SA   0.0234
AZUL4.SA   0.0197
B3SA3.SA   0.0081
BBAS3.SA   0.0633
BBDC3.SA  -0.4578
BBDC4.SA   0.5790
BBSE3.SA   0.0394
BEEF3.SA  -0.0013
BPAC11.SA -0.0429
BPAN4.SA   0.0134
BRAP4.SA  -0.3239
BRFS3.SA  -0.0972
BRKM5.SA  -0.0476
CMIG4.SA  -0.0833
COGN3.SA  -0.0222
CPFE3.SA   0.2003
CPLE6.SA   0.0180
CSAN3.SA  -0.0426
CSNA3.SA  -0.0363
CVCB3.SA  -0.0857
CYRE3.SA   0.3347
DXCO3.SA  -0.0035
ECOR3.SA  -0.1126
EGIE3.SA   0.1548
ELET3.SA  -0.4170
ELET6.SA   0.4861
EMBR3.SA   0.0045
ENEV3.SA   0.0760
ENGI11.SA  0.0518
EQTL3.SA  -0.0670
EZTC3.SA  -0.1610
FLRY3.SA   0.0854
GGBR4.SA   0.0713
HYPE3.SA  -0.0785
ITSA4.SA  -0.2431
ITUB4.SA   0.1369
JHSF3.SA  -0.0974
KLBN11.SA  0.0201
LREN3.SA   0.0470
MGLU3.SA  -0.0551
MRFG3.SA   0.1199
MRVE3.SA  -0.0834
MULT3.SA  -0.2157
PCAR3.SA  -0.0327
PETR3.SA  -0.0203
PETR4.SA   0.0489
PRIO3.SA  -0.0123
QUAL3.SA   0.0272
RADL3.SA   0.1453
RAIL3.SA   0.2454
RENT3.SA   0.0143
SANB11.SA -0.1211
SBSP3.SA  -0.0451
SUZB3.SA  -0.0399
TAEE11.SA  0.2554
TIMS3.SA  -0.0016
TOTS3.SA  -0.0690
UGPA3.SA   0.0770
USIM5.SA   0.0377
VALE3.SA   0.4567
VIVT3.SA   0.1878
WEGE3.SA   0.0557
YDUQ3.SA  -0.0103

\[\boldsymbol{\omega} = \dfrac{\Sigma^{-1} \boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}' \Sigma^{-1} \boldsymbol{1}},\]

Hands-On I

Code

# Calculamos los pesos optimos
library(RiskPortfolios)
omega <- optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = "minvol"))
cbind(w, omega)

                              omega
ABEV3.SA   0.006760879  0.006760879
ALPA4.SA   0.016006470  0.016006470
AMER3.SA   0.023413634  0.023413634
AZUL4.SA   0.019726839  0.019726839
B3SA3.SA   0.008080406  0.008080406
BBAS3.SA   0.063340382  0.063340382
BBDC3.SA  -0.457793091 -0.457793091
BBDC4.SA   0.579026521  0.579026521
BBSE3.SA   0.039399864  0.039399864
BEEF3.SA  -0.001255193 -0.001255193
BPAC11.SA -0.042854614 -0.042854614
BPAN4.SA   0.013434218  0.013434218
BRAP4.SA  -0.323884664 -0.323884664
BRFS3.SA  -0.097181251 -0.097181251
BRKM5.SA  -0.047632442 -0.047632442
CMIG4.SA  -0.083288349 -0.083288349
COGN3.SA  -0.022206103 -0.022206103
CPFE3.SA   0.200308533  0.200308533
CPLE6.SA   0.017978591  0.017978591
CSAN3.SA  -0.042571171 -0.042571171
CSNA3.SA  -0.036290233 -0.036290233
CVCB3.SA  -0.085675428 -0.085675428
CYRE3.SA   0.334674494  0.334674494
DXCO3.SA  -0.003456292 -0.003456292
ECOR3.SA  -0.112573289 -0.112573289
EGIE3.SA   0.154807659  0.154807659
ELET3.SA  -0.416957220 -0.416957220
ELET6.SA   0.486077361  0.486077361
EMBR3.SA   0.004539365  0.004539365
ENEV3.SA   0.076033083  0.076033083
ENGI11.SA  0.051794816  0.051794816
EQTL3.SA  -0.067006671 -0.067006671
EZTC3.SA  -0.161017473 -0.161017473
FLRY3.SA   0.085416134  0.085416134
GGBR4.SA   0.071279116  0.071279116
HYPE3.SA  -0.078487566 -0.078487566
ITSA4.SA  -0.243109206 -0.243109206
ITUB4.SA   0.136902676  0.136902676
JHSF3.SA  -0.097351802 -0.097351802
KLBN11.SA  0.020137864  0.020137864
LREN3.SA   0.046970965  0.046970965
MGLU3.SA  -0.055065020 -0.055065020
MRFG3.SA   0.119850337  0.119850337
MRVE3.SA  -0.083384582 -0.083384582
MULT3.SA  -0.215728546 -0.215728546
PCAR3.SA  -0.032695807 -0.032695807
PETR3.SA  -0.020311500 -0.020311500
PETR4.SA   0.048863015  0.048863015
PRIO3.SA  -0.012303629 -0.012303629
QUAL3.SA   0.027173974  0.027173974
RADL3.SA   0.145255924  0.145255924
RAIL3.SA   0.245351740  0.245351740
RENT3.SA   0.014299539  0.014299539
SANB11.SA -0.121145373 -0.121145373
SBSP3.SA  -0.045129950 -0.045129950
SUZB3.SA  -0.039873448 -0.039873448
TAEE11.SA  0.255375056  0.255375056
TIMS3.SA  -0.001585105 -0.001585105
TOTS3.SA  -0.069031032 -0.069031032
UGPA3.SA   0.076964370  0.076964370
USIM5.SA   0.037724003  0.037724003
VALE3.SA   0.456696820  0.456696820
VIVT3.SA   0.187833318  0.187833318
WEGE3.SA   0.055668978  0.055668978
YDUQ3.SA  -0.010320892 -0.010320892

Hands-On I

En la práctica, \(\Sigma\) no es conocido y debe ser estimado con los datos (\(\hat{\Sigma}\)).
Utilizar \(\hat{\Sigma}\) en lugar de \(\Sigma\) implica un error de estimación.
Esto provoca que los pesos se asignen a pocos activos, exista poca diversificación y el rendimiento fuera de la muestra sea pobre 🙍
Para abordar este problema, se han propuesto diversas metodologías.

Observación:

En la práctica, es muy difícil estimar \(\mu\). Por eso, los portafolios basados en riesgo (\(\Sigma\)) son preferidos.
Es común imponer la restricción de que \(\omega_i \geq 0\) (no-short-selling constraints o restricción de no venta en corto).

Hands-On I

Code

omega <- optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = "minvol", constraint = "lo"))
round(omega, 4)

 [1] 0.0000 0.0044 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1112 0.0000
[11] 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0302 0.0000 0.0000
[21] 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0317 0.0000 0.0000 0.0116 0.0000
[31] 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1484
[41] 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
[51] 0.0465 0.0085 0.0000 0.0000 0.0000 0.0211 0.1478 0.0000 0.0000 0.0000
[61] 0.0000 0.1435 0.2678 0.0272 0.0000

Otros portafolios basados en riesgo

Pesos iguales

También llamada estrategia ingenua o \(1/N\).
Es la estrategia más simple y no requiere cálculos difíciles ni resolver problemas de optimización.
Para un conjunto de \(N\) activos financieros, los pesos se obtienen como
\[ \omega_i = 1/N, \quad \forall i = 1, \cdots, N. \]
A pesar de su simplicidad, diversos autores mencionan que el desempeño fuera de la muestra de esta estrategia difícilmente es superado por métodos más complejos (DeMiguel et al. 2009).

Otros portafolios basados en riesgo

Volatilidad inversa

Propuesta por Leote De Carvalho et al. (2012), esta estrategia no toma en cuenta las covarianzas, sino únicamente las varianzas. Los pesos se obtienen como:

\[\boldsymbol{\omega} = \Big( \dfrac{1/\sigma_1}{ \displaystyle \sum_{j = 1}^N 1/\sigma_j}, \cdots, \dfrac{1/\sigma_N}{ \displaystyle \sum_{j = 1}^N 1/\sigma_j} \Big)'\]

En R

optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'invvol', constraint = 'lo'))

Otros portafolios basados en riesgo

Diversificación máxima

Propuesta por Choueifaty y Coignard (2008), el objetivo es maximizar la razón
\[ DR = \dfrac{\boldsymbol{\omega}^\top \boldsymbol{\sigma}}{\sqrt{\boldsymbol{\omega}^\top \Sigma \, \boldsymbol{\omega}}}, \]
sujeto a la restricción de que \(\boldsymbol{1}^\top \boldsymbol{\omega} = 1\) y \(\omega_i \geq 0\), y donde \(\boldsymbol{\sigma} = \sqrt{\text{diag}(\Sigma)}\).

Nótese que, en el caso extremo de que el portafolio esté formado por un solo activo, \(DR = 1\), lo que implica un portafolio pobremente diversificado.

En R

optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'maxdiv', constraint = 'lo'))

Otros portafolios basados en riesgo

Igual contribución al riesgo

Popularizada por Qian (2005), la idea de esta estrategia es que cada uno de los activos tenga la misma contribución marginal al riesgo (volatilidad) del portafolio, es decir, que la proporción de la contribución al riesgo de cada activo sea \(1/N\). Los activos con poco riesgo recibirán pesos mayores y los activos con mucho riesgo recibirán pesos menores.

Los pesos se obtienen minimizando
\[ \displaystyle \sum_{i = 1}^N (\%RC_i - 1/N)^2, \]
sujeto a la restricción de que \(\boldsymbol{1}^\top \boldsymbol{\omega} = 1\), donde
\(\%RC_i = \omega_i [\Sigma \boldsymbol{\omega}]_i / \boldsymbol{\omega}^\top \Sigma \boldsymbol{\omega}\)
es el porcentaje de riesgo con el que el activo \(i\) contribuye al riesgo total.

En R

optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'erc', constraint = 'lo'))

Outros portfolios basados en riesgo

Máxima decorrelación

Proposto por Christoffersen et al. (2012), esta estratégia pode ser vista como um caso particular do portfolio de variância mínima mas com \(\rho\) (matriz de correlação) em lugar de \(\Sigma\) (matriz de covariância). Assim, queremos minimizar \[\boldsymbol{\omega} \rho \boldsymbol{\omega},\] sujeito á restrição de que \(\boldsymbol{1}' \boldsymbol{\omega} = 1\)

No R

optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'maxdec', constraint = 'lo'))

Hands-On II

Utilizando los datos anteriores, calcularemos los pesos óptimos utilizando las estrategias vistas anteriormente.

Code

omega_invol <- optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'invvol', constraint = 'lo'))
omega_erc <- optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'erc', constraint = 'lo'))
omega_maxdiv <- optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'maxdiv', constraint = 'lo'))
omega_maxdec <- optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'maxdec', constraint = 'lo'))

Hands-On II

Code

pesos <- cbind(omega, omega_invol, omega_erc, omega_maxdiv, omega_maxdec)
colnames(pesos) <- c("MV","IV", "ERC","MaxDiv", "MaxDec")
pesos

                    MV          IV         ERC       MaxDiv       MaxDec
ABEV3.SA  0.000000e+00 0.022769963 0.022344181 1.352484e-16 7.099076e-18
ALPA4.SA  4.445503e-03 0.013120455 0.014115983 2.542815e-02 2.097542e-02
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Portafolios basados en riesgo con Machine Learning (ML)