Risk-based Portfolio Allocation Strategies

Prof. Carlos Trucíos
ctrucios@unicamp.br

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC),
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP).

A statistician working on portfolio allocation?

Introduction

Introdução

Suponha que temos 2 ativos, \(A\) e \(B\), nos quais estamos interessados em investir. Como alocaria seus recursos neste investimento?
Suponha que temos 2 ativos, \(A\) e \(B\), com retornos esperados de \(3\) e \(5\) e variâncias iguais \(2\) e \(4\), respectivamente. Como alocaria seus recursos de forma a maximizar seu retorno esperado e minimizar seu risco?
Suponha que temos 2 ativos, \(A\) e \(B\), com retornos esperados de \(3\) e \(5\) e variâncias iguais \(2\) e \(4\), respectivamente e correlação igual a 0.5. Como alocaria seus recursos de forma a maximizar seu retorno esperado e minimizar seu risco?
Seja \(\omega\) e \(\mu\) os vetores (coluna) de pesos e retornos esperados, respectivamente e seja \(\Sigma\) a matriz de covariância associada (risco). Queremos maximizar \[\mu' \omega - \lambda \omega' \Sigma \omega,\] em que \(\lambda\) é o parâmetro de aversão ao risco (quanto maior, mais advessos ao risco somos)

Markowitz

Markowitz (1952)

Markowitz

Quando \(\lambda\) é grande, o problema a ser resolvido, torna-se, aproximadamente, minimizar \[\omega' \Sigma \omega,\]

Carteira conhecida como carteira de variância mínima.

Vamos assumir que todo nosso capital será alocado, ou seja \(\displaystyle \sum_{i = 1}^N\omega_i = 1\)
Então, queremos minimizar com restrição

Markowitz

Seja um portfolio com \(N\) ativos e matriz de covariância \(\Sigma\). Queremos minimizar \[L(\boldsymbol{\omega}, \lambda) = \boldsymbol{\omega}' \Sigma \boldsymbol{\omega} + \lambda (\boldsymbol{1}'\boldsymbol{\omega} - 1),\] em que \(\boldsymbol{1} = [1, 1, \cdots, 1]'.\)

Derivando w.r.t. \(\boldsymbol{\omega}\) e \(\lambda\)

\(\dfrac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}} = 2 \Sigma \boldsymbol{\omega} + \lambda \boldsymbol{1}\)
\(\dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = \boldsymbol{1}' \boldsymbol{\omega} - 1\)

Igualando a zero, \[\Sigma \boldsymbol{\omega} = - \dfrac{\lambda \boldsymbol{1}}{2} \rightarrow \boldsymbol{\omega} = \dfrac{-\lambda}{2} \Sigma^{-1} \boldsymbol{1}\]

Markowitz

Igualando a zero \(\dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = \boldsymbol{1}' \boldsymbol{\omega} - 1\), temos:

\[1 = \boldsymbol{1}' \boldsymbol{\omega} = \dfrac{-\lambda}{2} \boldsymbol{1}' \Sigma^{-1} \boldsymbol{1} \rightarrow \lambda = \dfrac{-2}{\boldsymbol{1}' \Sigma^{-1} \boldsymbol{1}}.\]

Assim,

\[\boldsymbol{\omega} = \dfrac{-\lambda}{2} \Sigma^{-1} \boldsymbol{1} = \dfrac{\Sigma^{-1} \boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}' \Sigma^{-1} \boldsymbol{1}},\] são os pesos ótimos da carteira de variância mínima.

Na prática, \(\Sigma\) não é conhecido, devendo ser estimado com os dados (\(\hat{\Sigma}\)).

Hands-On I

Utilizando retornos mensais das ações na B3, calcularemos os pesos para a carteira de variância mínima. Utilizaremos os pacotes do R yfR, RiskPortfolios, tidyr e dplyr.

Code

#library(yfR)
#library(dplyr)
#library(tidyr)
# Lista de ações que fazem parte do índice Ibovespa
#acoes <- yf_index_composition("IBOV")
#acoes$ticker

Hands-On I

Code

# Formato Yahoo Finance
#ibov_tickers <- paste0(acoes$ticker, ".SA")
# Baixando Preços
#precos <- yf_get(tickers = ibov_tickers, 
#                 first_date = "2015-01-01",
#                 last_date  = "2024-04-30", 
#                 freq_data = "monthly")
#glimpse(precos)

Hands-On

Code

library(HierPortfolios)
# Estimamos a matriz de covariância
#Sigma <- precos |> 
#  select(ref_date, ticker, ret_adjusted_prices) |> 
#  pivot_wider(id_cols = ref_date, values_from = ret_adjusted_prices, names_from = ticker) |> 
#  drop_na() |> 
#  select(-ref_date) |> 
#  cov()
Sigma <- cov(mldp_returns)

Hands-On

Code

n <- ncol(Sigma)
ones <- matrix(1, ncol = 1, nrow = n)
w <- as.numeric(1/(t(ones) %*% solve(Sigma) %*% ones)) * solve(Sigma) %*% ones
round(w, 4)

           [,1]
ASSET1   0.1450
ASSET2   0.2530
ASSET3   0.2270
ASSET4   0.1988
ASSET5   0.1868
ASSET6  -0.0297
ASSET7   0.0578
ASSET8   0.0150
ASSET9  -0.0505
ASSET10 -0.0033

\[\boldsymbol{\omega} = \dfrac{\Sigma^{-1} \boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}' \Sigma^{-1} \boldsymbol{1}},\]

Hands-On

Code

# Calculamos os pesos ótimos
library(RiskPortfolios)
omega <- optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = "minvol"))
cbind(w, omega)

                          omega
ASSET1   0.14497249  0.14497249
ASSET2   0.25304038  0.25304038
ASSET3   0.22699176  0.22699176
ASSET4   0.19881419  0.19881419
ASSET5   0.18675677  0.18675677
ASSET6  -0.02965077 -0.02965077
ASSET7   0.05782148  0.05782148
ASSET8   0.01501568  0.01501568
ASSET9  -0.05046142 -0.05046142
ASSET10 -0.00330055 -0.00330055

Hands-On I

Na prática, \(\Sigma\) não é conhecido, devendo ser estimado com os dados (\(\hat{\Sigma}\)).
Utilizar \(\hat{\Sigma}\) em lugar de \(\Sigma\) implica em erro de estimação.
Isto faz com que os pesos estejam alocados em poucos ativos, exista pouca diversificação e o desempenhho fora da amostra seja pobre 😢
Para lidar com este problema, diversas abordagens tem sido propostas.

Observações:

Na prática é muito dificil estimar \(\mu\). É por isso que carteiras baseadas em rico (\(\Sigma\)) são preferidas.
É comúm impor a restrição de que \(\omega_i \geq 0\) (no-short-selling constraints ou restrição de não venda a descoberto).

Hands-On I

Code

omega <- optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = "minvol", constraint = "lo"))
round(omega, 4)

 [1] 0.1444 0.1993 0.1973 0.1987 0.1868 0.0000 0.0586 0.0149 0.0000 0.0000

Outros portfolios

Pesos iguais

Também chamada de estratégia ingênua ou \(1/N\).
É a estratégia mais simples e não precisa cálculos difíceis nem resolver problemas de otimização.
Para um conjunto de \(N\) ativos financeiros, os pesos são obtidos como \[\omega_i = 1/N, \quad \forall i= 1, \cdots, N.\]
Apesar da sua simplicidade, diversos autores mencionam que o desempenho fora da amostra desta estratégia é dificilmente superado por métodos mais complexos (DeMiguel et al. 2009)

Outros portfolios

Volatilidade inversa

Proposto por Leote De Carvalho et al. (2012), esta estratégia não leva em consideração covariâncias, mas apenas variâncias. Os pesos são obtidos como:

\[\boldsymbol{\omega} = \Big( \dfrac{1/\sigma_1}{ \displaystyle \sum_{j = 1}^N 1/\sigma_j}, \cdots, \dfrac{1/\sigma_N}{ \displaystyle \sum_{j = 1}^N 1/\sigma_j} \Big)'\]

No R

optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'invvol', constraint = 'lo'))

Outros portfolios

Diversificação máxima

Proposto por Choueifaty and Coignard (2008), o objetivo é maximizar a razão \[DR = \dfrac{\boldsymbol{\omega}'\boldsymbol{\sigma}}{\sqrt{\boldsymbol{\omega}' \Sigma \boldsymbol{\omega}}},\] sujeito á restrição de que \(\boldsymbol{1}' \boldsymbol{\omega} = 1\) e \(\omega_i \geq 0\) e em que \(\boldsymbol{\sigma} = \sqrt{diag(\Sigma)}\).

Note que no caso extremos de que a carteira esteja formada po apenas um ativo, \(DR = 1\), implicando uma carteira pobremente diversificada.

No R

optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'maxdiv', constraint = 'lo'))

Outros portfolios

Igual contribuição ao risco

Popularizada por Qian (2005), a ideia desta estratégia é que cada um dos ativos tenha a mesma contribuição marginal ao risco (volatilidade) da carteira, ou seja, que a proporção da contribuição ao risco de cada ativo deve ser \(1/N\). Ativos com pouco risco receberão pessos maiores e ativos com muito risco receberão pesos menores.

Os pesos são obtidos minimizando \[\displaystyle \sum_{i = 1}^N (\%RC_i - 1/N)^2,\] sujeito á restrição de que \(\boldsymbol{1}' \boldsymbol{\omega} = 1\), em que \(\%RC_i = \omega_i [\Sigma \boldsymbol{\omega}]_i / \boldsymbol{\omega}' \Sigma \boldsymbol{\omega}\) é a porcentagem de risco com que o ativo \(i\) contribui para o risco total.

No R

optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'erc', constraint = 'lo'))

Outros portfolios

Máxima decorrelation

Proposto por Christoffersen et al. (2012), esta estratégia pode ser vista como um caso particular do portfolio de variância mínima mas com \(\rho\) (matriz de correlação) em lugar de \(\Sigma\) (matriz de covariância). Assim, queremos minimizar \[\boldsymbol{\omega} \rho \boldsymbol{\omega},\] sujeito á restrição de que \(\boldsymbol{1}' \boldsymbol{\omega} = 1\)

No R

optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'maxdec', constraint = 'lo'))

Hands-On II

Utilizando os dados anteriores, calcularemos os pesos ótimos utiliando as estratégias vistas anteriormente.

Code

omega_invol <- optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'invvol', constraint = 'lo'))
omega_erc <- optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'erc', constraint = 'lo'))
omega_maxdiv <- optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'maxdiv', constraint = 'lo'))
omega_maxdec <- optimalPortfolio(Sigma, control = list(type = 'maxdec', constraint = 'lo'))

Hands-On II

Code

pesos <- cbind(omega, omega_invol, omega_erc, omega_maxdiv, omega_maxdec)
colnames(pesos) <- c("MV","IV", "ERC","MaxDiv", "MaxDec")
pesos

                MV         IV        ERC     MaxDiv     MaxDec
ASSET1  0.14441636 0.10180771 0.10302562 0.04982798 0.04891108
ASSET2  0.19927819 0.10138439 0.08394694 0.03722635 0.03669391
ASSET3  0.19731862 0.10180305 0.10214902 0.12238143 0.12013496
ASSET4  0.19871602 0.10124235 0.14352016 0.19926099 0.19668659
ASSET5  0.18682494 0.10154481 0.10313840 0.07846716 0.07722268
ASSET6  0.00000000 0.09871593 0.09834150 0.07444889 0.07536776
ASSET7  0.05856234 0.09900181 0.10191129 0.15308962 0.15453158
ASSET8  0.01488354 0.09823150 0.10044598 0.12267356 0.12480008
ASSET9  0.00000000 0.09820804 0.08129069 0.05246468 0.05338689
ASSET10 0.00000000 0.09806042 0.08223041 0.11015936 0.11226446

ML Risk-Based Portfolios

Recentemente, novas estratégias de alocação de carteiras baseadas em machine learning tem surgido na literatura.
Algumas destas estratégias utilizam algoritmos de clusterização hierárquica (HRP, HCAA, HERC, DHRP).
Estas estratégias surgem para superar algumas das limitações da estratégia de Markowitz, bem como incluir a ideia de que “sistemas complexos, como o mercado financeiro, estão organizados de forma hierárquica”