Estudos observacionais
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC),
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP).
Estudo experimental vs. observacional
Lalonde (1986) está interessado no efeito causal de um programa de treinamento sob o salario. Ele compara os resultados utilizando dados experimentais (dataset lalonde do pacote Matching) vs. dados observacionais (cps1re74.csv).
library(Matching)
library(car)
data(lalonde)
y <- lalonde$re78
z <- lalonde$treat
modelo_ee <- lm(y ~ z)
v_ehw_ee <- hccm(modelo_ee)
Estimate <- coef(modelo_ee)
Std_Error <- sqrt(diag(v_ehw_ee))
t <- Estimate / Std_Error
p_valor <- pnorm(abs(t), lower.tail = FALSE)
tabela_ee <- round(cbind(Estimate, Std_Error, t, p_valor), 3)
tabela_ee Estimate Std_Error t p_valor
(Intercept) 4554.802 340.749 13.367 0.000
z 1794.343 672.682 2.667 0.004data <- read.csv("datasets/cps1re74.csv", sep = " ")
y <- data$re78
z <- data$treat
modelo_eo <- lm(y ~ z)
v_ehw_eo <- hccm(modelo_eo)
Estimate <- coef(modelo_eo)
Std_Error <- sqrt(diag(v_ehw_eo))
t <- Estimate / Std_Error
p_valor <- pnorm(abs(t), lower.tail = FALSE)
tabela_eo <- round(cbind(Estimate, Std_Error, t, p_valor), 3)
tabela_eo Estimate Std_Error t p_valor
(Intercept) 14855.639 76.371 194.519 0
z -8506.495 584.999 -14.541 0De fato, LaLonde (1986) encontrou que muitos métodos estatísticos/econométricos tradicionais davan resultados diferentes quando utilizados dados experimentais vs. observacionais 😢 (tempo depois, Dehejia e Wahba (1999) encontram que, se utilizarmos métodos motivados pela inferência causal, estes problemas não aparecem 😄).
Como o estudo observacional seria conduzido se pudesemos faze-lo através de experimentos controlados?
Suponha que para cada \(i = 1, \cdots, n\) temos:
Assumiremos que \[\{X_i, Z_i, Y_i(1), Y_i(0)\}_{i = 1}^n \overset{IID}{\sim} \{X, Z, Y(1), Y(0)\}.\]
Os efeitos causais de interesse são:
E se utilizarmos a diferença de médias? 🙏
\[\begin{align*} \tau_{PF} & = \mathbb{E}(Y | Z = 1) - \mathbb{E}(Y | Z = 0), \\ & = \mathbb{E}(Y(1) | Z = 1) - \mathbb{E}(Y(0) | Z = 0). \end{align*}\]
\(\tau_{PF}\) tem a vantagem de ser facilmente estimável (😄). Contudo, é geralmente viesado para os efeitos cuasais de interesse (😿).
Por exemplo
em geral são \(\neq 0\), o que significa um vies de seleção.
Vies de seleção
Vies de seleção é um termo utilizado em diversas áreas. Aqui, vies de seleção corresponde à seleção do grupo e tratamento.
Então:
Suposições:
\[\mathbb{E}(Y(0)| Z = 1, X) = \mathbb{E}(Y(0)| Z = 0, X) \qquad(1)\]
\[\mathbb{E}(Y(1)| Z = 1, X) = \mathbb{E}(Y(1)| Z = 0, X) \qquad(2)\]
Eq. (1) e (2) implicam que, condicionado em \(X\), o vies de seleção é zero. Ou seja, a diferença nas médias dos resultados potenciais entre tratamento e controle devem-se à diferença nas covariais observadas \(X\). Assim, dado o mesmo valor de \(X\), os resultados potenciais tem a mesma média entre tratamento e controle.
Eq. (1) e (2) garantem que as versões condicionais de \(\tau\), \(\tau_T\), \(\tau_C\) e \(\tau_{PF}\) sejam todas iguais.
Sejam \[\tau(X), \tau_T(X), \tau_C(X), \text{ e }\tau_{PF}(X)\] as versões condicionadas em \(X\) de \(\tau, \tau_T, \tau_C, \text{ e } \tau_{PF}, \text{ respectivamente.}\) Ou seja,
Suposições:
\[\mathbb{E}(Y(0)| Z = 1, X) = \mathbb{E}(Y(0)| Z = 0, X)\]
\[\mathbb{E}(Y(1)| Z = 1, X) = \mathbb{E}(Y(1)| Z = 0, X)\]
As equações acima garantem que \[\tau_{T}(X) = \tau_C(X) = \tau_{PF}(X) = \tau(X).\]
O principal resultado desta aula é que, sob as suposições acima, o efeito causal médio, \(\tau\) é identificável não parametricamente.
Definição (identificação):
Um parâmetro \(\theta\) é dito identificável se pode ser escrito como uma função da distribuição dos dados observados sob certas suposições do modelo. Um parâmetro \(\theta\) é dito identificável não parametricamente se pode ser escrito como uma função da distribuição dos dados observados sem quaisquer suposição do modelo.
Resultado
Sob (1) e (2), o efeito causal médio, \(\tau\), é identificável não parametricamente.
Sob (1) e (2),
\[\begin{align} \tau & = \mathbb{E}(\tau(X)) \\ & = \mathbb{E}(\tau_{PF}(X)) \\ & = \mathbb{E}[\mathbb{E}(Y | Z = 1, X) - \mathbb{E}(Y | Z = 0, X)] \\ & = \int [\mathbb{E}(Y | Z = 1, X = x) - \mathbb{E}(Y | Z = 0, X = x)]f(x)dx \\ & \text{ou} \\ & = \displaystyle \sum_x \mathbb{E}(Y | Z = 1, X = x) P(X = x) - \mathbb{E}(Y | Z = 0, X = x) P(X = x), \end{align}\] dependendo se \(X\) for contínuo ou discreto.
Ademais, \[\tau_{PF} = \displaystyle \sum_x \mathbb{E}(Y | Z = 1, X = x) P(X = x| Z = 1) - \mathbb{E}(Y | Z = 0, X = x) P(X = x | Z = 0)\]
Mais duas suposiões:
Suposições:
\[\text{Ignorabilidade:} \quad Y(z) \perp\!\!\!\perp Z | X \quad (z = 0, 1). \qquad(3)\]
\[\text{Ignorabilidade forte:} \quad\{Y(1), Y(0)\} \perp\!\!\!\perp Z | X. \qquad(4)\]
A suposição de ignorabilidade forte (4) requer que o vetor de resultados potenciais seja independente do tratamento dadas as covariáveis. Já a suposição de ignorabilidade (3) requer apenas que cada resultado potencial seja independente do tratamento dadas as covariáveis.
Observação: as suposições de ignorabilidade e ignorabilidade forte não são necessárias para identificar \(\tau\) (para isso temos as outras suspoções vistas anteriormente que são mais fracas). Contudo, se o parâmetro de interesse é outro (quantil, distribuição, alguma transformação de Y), estas suposições não podem ser relaxadas.
Importante
Ignorabilidade e ignorabilidade forte não são a mesma coisa. Isto está relacionado com o caso em que \[A \perp\!\!\!\perp C \quad e \quad B \perp\!\!\!\perp C \quad mas \quad (A, B) \not\perp\!\!\!\not\perp C.\]
Para ilustrar, seja \(X\) vazio, \(\epsilon_1\) e \(\epsilon_0\) v.a independentes com \[P(\epsilon_1 = 1) = P(\epsilon_1 = -1) = P(\epsilon_0 = 1) = P(\epsilon_0 = -1) = 0.5\]
Defina \(Y(1) = \epsilon_1\), \(Y(0) = \epsilon_0\) e \(Z = I(\epsilon_1 = \epsilon_0).\)
| Z \ Y(1) | -1 | 1 |
|---|---|---|
| 1 | 1/4 | 1/4 |
| 0 | 1/4 | 1/4 |
\(Z \perp\!\!\!\perp Y(1)\) (\(Z \perp\!\!\!\perp Y(1)\)). Contudo, isso não acontece para \(Z \perp\!\!\!\perp (Y(1), Y(0)).\)
Seja \[\begin{align} Y(1) & = g_1(X, V_1), \\ Y(0) & = g_0(X, V_0), \\ Z & = I(g(X, V) \geq 0), \end{align}\]em que os termos de erro \((V_1, V_0) \perp\!\!\!\perp V\). Veja que \(X\) é a causa commúm do tratamento e do resultado.
Note que suposições de ignorabilidade e ignorabilidade forte são ambas verificadas.
Seja \[\begin{align} Y(1) & = g_1(X, U, V_1), \\ Y(0) & = g_0(X, U, V_0), \\ Z & = I(g(X, U, V) \geq 0), \end{align}\]em que os termos de erro \((V_1, V_0) \perp\!\!\!\perp V\). Ademais, \(X\) e \(U\) são as causas comums do tratamento e do resultado.
Neste caso as suposições de ignorabilidade não são verificadas. A variável \(U\) induce dependência entre tratamento e os resultados potencais (mesmo condicionando em \(X\)).
Observação
Importante
Se a covariável \(X\) for discreta, a suposição de ignorabilidade (3), torna-se
\[\quad Y(z) \perp\!\!\!\perp Z | X = k \quad (z = 0, 1; k = 1, \cdots, K).\]
Basicamente, assume-se um SRE no contexto de superpopulação.
Então, podemos estimar \(\tau\) por \[\hat{\tau} = \displaystyle \sum_{k = 1}^K \pi_{[k]} [\hat{\bar{Y}}_{[k]}(1) - \hat{\bar{Y}}_{[k]}(0)]\]
Embora o método seja amplamente utilizado, duas dificuldades aparecem:
Um método padrão é criar estratos com base nas covariáveis iniciais e depois aplicar o método de estratificação. Contudo, isto pode resultar em arbitrariedade na análise devido à não singularidade dos estratos criados.
A abordagem mais utiliza consiste em ajustar por MQO uma regressão do tipo
\[\mathbb{E}(Y | Z, X) = \beta_0 + \beta_Z Z + X \beta_X.\]
Assim, se o modelo for correto e assumirmos ignorabilidade: \[\begin{align} \tau(X) & = \mathbb{E}(Y | Z = 1, X) - \mathbb{E}(Y | Z = 0, X), \\ & = (\beta_0 + \beta_Z + X \beta_X) - (\beta_0 + X \beta_X), \\ & = \beta_Z, \end{align}\]
Então \[\tau = \mathbb{E}(\tau(X)) = \beta_Z.\]
Então, \[\tau = \mathbb{E}(\tau(X)) = \mathbb{E}(\beta_Z + X \beta_{ZX}) = \beta_Z + \mathbb{E}(X) \beta_{ZX}.\]
Exemplo (outcome regression para Y binário)
Com um resultado binário, podemos modelar \(Y\) com um modelo logístico.
\[\mathbb{E}(Y| Z, X) = P(Y = 1| Z, X) = \dfrac{e^{\beta_0 + \beta_Z Z + X \beta_X}}{1 + e^{\beta_0 + \beta_Z Z + X \beta_X}}.\]
E um estimador para \(\tau\) é dado por
\[\hat{\tau} = n^{-1} \displaystyle \sum_{i = 1}^n \{\dfrac{e^{\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_Z + X \hat{\beta}_X}}{1 + e^{\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_Z Z + X \hat{\beta}_X}} - \dfrac{e^{\hat{\beta}_0 + X \hat{\beta}_X}}{1 + e^{\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_Z Z + X \hat{\beta}_X}}\}\]
Em econometria, este estimador é chamado de efeito parcial médio ou efeito marginal médio do tratamento no modelo logístico.
Carlos Trucíos (IMECC/UNICAMP) | ME920/MI628 - Inferência Causal | ctruciosm.github.io