Inferência Causal

Análise de sensibilidade

Prof. Carlos Trucíos
ctrucios@unicamp.br

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC),
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP).

Conteúdo

• Introdução
• Manski
• Análise de sensibilidade
• Exemplo

Introdução

Introdução

Sejam \(\{Z_i, X_i, Y_i(1), Y_i(0) \}_{i = 1}^n \sim IID \{Z, X, Y(1), Y(0) \}\), \(n\) observações de um estudo observacional e seja \(\tau\) o efeito causal médio, \[\tau = \mathbb{E} \big [ Y(1) - Y(0) \big ].\]

Equivalentemente, podemos re-escrever \(\tau\) como \[\begin{align} \tau &= \underbrace{\mathbb{E} [Y | Z = 1]P(Z = 1) + \mathbb{E}[Y(1) | Z = 0] P(Z = 0)}_{\mathbb{E}[Y(1)]} \\ &- \underbrace{\Big [ \mathbb{E}[Y(0) | Z = 1]P(Z = 1) + \mathbb{E} [Y | Z = 0] P(Z = 0) \Big ]}_{\mathbb{E}[Y(0)]}, \end{align}\]

em que a dificuldade é estimar os contrafactuais \(\mathbb{E}[Y(1) | Z = 0]\) e \(\mathbb{E}[Y(0) | Z = 1].\)

Introdução

Existem duas estratégias para estimar \(\mathbb{E}[Y(1) | Z = 0]\) e \(\mathbb{E}[Y(0) | Z = 1].\)

1. Primeira Estratégia: Assumir ignorabilidade
2. Segunda Estratégia: não assume nada além de que os resultados são limitados entre \(\underline{y}\) e \(\overline{y}\) (foco da aula de hoje).

Se \(Y\) for binário, naturalmente \(\underline{y} = 0\) e \(\overline{y} = 1\).

Sob esta suposição, \(\mathbb{E}[Y(1) | Z = 0]\) e \(\mathbb{E}[Y(0) | Z = 1]\) são também limitados entre \(\underline{y} = 0\) e \(\bar{y} = 1\), sendo estes limites os casos mais extremos que \(\mathbb{E}[Y(1) | Z = 0]\) e \(\mathbb{E}[Y(0) | Z = 1]\) podem assumir.

Manski

Manski

Assuma que os resultados são limitados entre \(\underline{y} = 0\) e \(\overline{y} = 1\).

Então,

\[\mathbb{E}[Y(1)] = \mathbb{E}[Y | Z = 1]P(Z = 1) + \underbrace{\mathbb{E}[Y(1) | Z = 0]}_{\geq \underline{y}}P(Z = 0), \quad e\]

\[\mathbb{E}[Y(1)] = \mathbb{E}[Y | Z = 1]P(Z = 1) + \underbrace{\mathbb{E}[Y(1) | Z = 0]}_{\leq \overline{y}}P(Z = 0).\]

Assim,

\[\mathbb{E}[Y | Z = 1]P(Z = 1) + \underline{y}P(Z = 0) \leq \mathbb{E}[Y(1)] \leq \mathbb{E}[Y | Z = 1]P(Z = 1) + \overline{y}P(Z = 0)\]

Manski

De forma semelhante,

\[\mathbb{E}[Y | Z = 0]P(Z = 0) + \underline{y}P(Z = 1) \leq \mathbb{E}[Y(0)] \leq \mathbb{E}[Y | Z = 0]P(Z = 0) + \overline{y}P(Z = 1)\]

Assim,

\[\begin{align} \mathbb{E}[Y | Z = 1]P(Z = 1) & + \underline{y}P(Z = 0) - \mathbb{E}[Y | Z = 0]P(Z = 0) - \overline{y}P(Z = 1) \\ & \leq \underbrace{\mathbb{E}[Y(1) - Y(0)]}_{\tau} \leq \\ \mathbb{E}[Y | Z = 1]P(Z = 1) & + \overline{y}P(Z = 0) - \mathbb{E}[Y | Z = 0]P(Z = 0) - \underline{y}P(Z = 1) \end{align}\]

Sem suposições adicionais, a distribuição dos dados não determina unicamente \(\tau\). Neste caso, dizemos que \(\tau\) é parcialmente identificável.

Manski

Definição: identificação

Um parâmetro \(\theta\) é dito identificável se pode ser escrito como uma função da distribuição dos dados observados sob certas suposições do modelo. Um parâmetro \(\theta\) é dito identificável não parametricamente se pode ser escrito como uma função da distribuição dos dados observados sem quaisquer suposição do modelo.

Definição: identificação parcial.

Um parâmetro \(\theta\) é dito parcialmente identificável se a distribuição dos dados observados é compativel com múltiplos valores de \(\theta\).

Se o parâmetro \(\theta\) for unicamente determinado pela distribuição dos dados observados é identificável. Caso contrário, é apenas parcialmente identificável. Assim, \(\tau\) é idenficiável sob a suposição de ignorabilidade, mas apenas parcialmente identificável sem a suposição de ignorabilidade

Manski

A ideia de limitar parâmetros causais com suposições mínimas foi explorada por Manski (1990, 2003) e é uma ferramente poderosa quando acompanhada de outras suposições qualitativas.

Exemplo

Podemos acreditar que o tratamento não faz mal para nenhuma unidade experimental, ou seja \[Y(1) \geq Y(0),\]

Desta forma, o limite inferior de \(\tau\) é zero mas o limite superior ainda é dado por \[\mathbb{E}[Y | Z = 1]P(Z = 1) + \overline{y}P(Z = 0) - \mathbb{E}[Y | Z = 0]P(Z = 0) - \underline{y}P(Z = 1)\]

Análise de sensibilidade

Análise de sensibilidade

Sejam os parâmetros de sensibilidade,

\[\varepsilon_1(X) = \dfrac{\mathbb{E} \big[ Y(1) | Z = 1, X \big ]}{\mathbb{E} \big[ Y(1) | Z = 0, X \big ]} \quad e \quad \varepsilon_0(X) = \dfrac{\mathbb{E} \big[ Y(0) | Z = 1, X \big ]}{\mathbb{E} \big[ Y(0) | Z = 0, X \big ]}.\]

Teorema

Com \(\varepsilon_1(X)\) e \(\varepsilon_0(X)\) conhecidos, temos que

\[\begin{align} \mathbb{E} [Y(1) | Z = 0] & = \mathbb{E} [\mu_1(X) / \varepsilon_1(X) | Z = 0] \\ \mathbb{E} [Y(0) | Z = 1] & = \mathbb{E} [\mu_0(X) / \varepsilon_0(X) | Z = 1]. \end{align}\]

Ademais,

\[\begin{align} \tau & = \mathbb{E}[ZY + (1 - Z) \mu_1(X)/\varepsilon_1(X)] - \mathbb{E}[Z \mu_0(X)\varepsilon_0(X) + (1 - Z) Y] \\ & = \mathbb{E}[Z \mu_1(X) + (1 - Z) \mu_1(X)/\varepsilon_1(X)] - \mathbb{E}[Z \mu_0(X) \varepsilon_0((X) + (1 - Z) \mu_0(X)]. \end{align}\]

Análise de sensibilidade

O Teorema anterior, motiva os seguintes estimadores para \(\tau\):

\[\hat{\tau} = \dfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n Z_i Y_i}{n} + \dfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n (1-Z_i) \hat{\mu}_1(X_1)/\varepsilon_1(X_1)}{n} - \Big [\dfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n Z_i \hat{\mu}_0(X_i) \varepsilon_0(X_i)}{n} + \dfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n(1 - Z_i) Y_i}{n} \Big]\]

e

\[\hat{\tau} = \dfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n Z_i \hat{\mu}_1(X_i)}{n} + \dfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n \dfrac{(1-Z_i) \hat{\mu}_1(X_1)}{\varepsilon_1(X_1)}}{n} - \Big [\dfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n Z_i \hat{\mu}_0(X_i) \varepsilon_0(X_i)}{n} + \dfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n(1 - Z_i) \hat{\mu}_0(X_i)}{n} \Big]\]

Qual a diferença entre ambos os estimadores?

Análise de sensibilidade

Teorema

Com \(\varepsilon_1(X)\) e \(\varepsilon_0(X)\) conhecidos, temos:

\[\mathbb{E}[Y(1)] = \mathbb{E} \Big [\omega_1(X) \dfrac{Z}{e(X)} Y \Big ] \quad e \quad \mathbb{E}[Y(0)] = \mathbb{E} \Big [\omega_0(X) \dfrac{1 - Z}{1 - e(X)} Y \Big ],\] em que \(\omega_1(X) = e(X) + (1 - e(X))/\varepsilon_1(X)\) e \(\omega_0(X) = e(X)\varepsilon_0(X) + 1 - e(X)\).

O Teorema modifica o clássico IPW, incluindo os termos \(\omega_1(X)\) e \(\omega_0(X)\) que dependem tanto do propensity score quando dos parâmetros de sensibilidade \(\varepsilon_0(X)\) e \(\varepsilon_1(X)\).

Análise de sensibilidade

O Teorema motiva os seguintes estimadores

\[\hat{\tau}^{ht} = \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i = 1}^n \dfrac{[\hat{e}(X_i) \varepsilon_1(X_1) + 1 - \hat{e}(X_i)] Z_i Y_i}{\varepsilon_1(X_i) \hat{e}(X_i)} - \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i = 1}^n \dfrac{[\hat{e}(X_i) \varepsilon_0(X_1) + 1 - \hat{e}(X_i)] (1 - Z_i) Y_i}{1 - \hat{e}(X_i)},\]

\[\hat{\tau}^{haj} = \dfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n \dfrac{[\hat{e}(X_i) \varepsilon_1(X_1) + 1 - \hat{e}(X_i)] Z_i Y_i}{\varepsilon_1(X_i) \hat{e}(X_i)}}{\displaystyle \sum_{i = 1}^n \dfrac{Z_i}{\hat{e}(X_i)}} - \dfrac{ \displaystyle \sum_{i = 1}^n \dfrac{[\hat{e}(X_i) \varepsilon_0(X_1) + 1 - \hat{e}(X_i)] (1 - Z_i) Y_i}{1 - \hat{e}(X_i)}}{\displaystyle \sum_{i = 1}^n \dfrac{1 - Z_i}{1 - \hat{e}(X_i)}} \]

Análise de sensibilidade

Ademais,

\[\hat{\tau}^{dr} = \hat{\tau}^{ht} - \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i = 1}^n [Z_i - \hat{e}(X_i)] \Big (\dfrac{\hat{\mu}_1(X_i)}{\hat{e}(X_i)\varepsilon_1(X_1)} + \dfrac{\hat{\mu}_0(X_1) \varepsilon_0(X_i)}{1 - \hat{e}(X_i)}\Big ).\]

Como podemos calcular as variâncias?

Bootstrap!

Exemplo

Implementação

Code

os_est <- function(z, y, x, out.family = gaussian, truncps = c(0, 1), e1 = 1, e0 = 0) {
  propensity_score <- glm(z ~ x, family = binomial)$fitted.values
  propensity_score <- pmax(truncps[1], pmin(truncps[2], propensity_score))
  
  outcome_regression_1 <- glm(y ~ x, weights = z, family = out.family)$fitted.values
  outcome_regression_0 <- glm(y ~ x, weights = 1 - z, family = out.family)$fitted.values
  
  # Estimador 1
  tau_hat_1 <- mean(z * y) + mean((1 - z) * outcome_regression_1 / e1) - 
    mean(z * outcome_regression_0 * e0) - mean((1 - z) * y)
  
  # Estimador 2 e 3
  w1 <- propensity_score + (1 - propensity_score) / e1
  w0 <- propensity_score * e0 + 1 - propensity_score
  tau_hat_2 <- mean(w1 * z * y / propensity_score) - mean(w0 * (1 - z) * y / (1 - propensity_score))
  tau_hat_3 <- mean(w1 * z * y / propensity_score)/mean(z / propensity_score) - mean(w0 * (1 - z) * y / (1 - propensity_score)) / mean((1 - z) / (1 - propensity_score))
  
  # Estimador 4
  tau_hat_4 <- tau_hat_2 - mean( (z - propensity_score) * (outcome_regression_1 / (propensity_score * e1) + outcome_regression_0 * e0 / (1 - propensity_score)))
  
  return(c(tau_hat_1, tau_hat_2, tau_hat_3, tau_hat_4))
}

Exemplo

Exemplo

Dataset disponível aqui. Chang et al. (2016) estudam se a participação no programa da merenda nas escolas (School_meal) leva a um aumento no índice de massa muscular (BMI) das crianças. 12 outras covariáveis também estão disponíveis no dataset.

Consideraremos diversos valores para os parâmetros de sensibilidade:

\[\varepsilon_1(X) = \varepsilon_0(X) \in \{1/2, 1/7, 1/1.5, 1/1.3, 1, 1.3, 1.5, 1.7, 2 \}\]

Exemplo

Code

dados <- read.csv("datasets/nhanes_bmi.csv")[, -1]
z <- dados$School_meal
y <- dados$BMI
x <- scale(dados[, -c(1, 2)])
E1 <- c(1/2, 1/7, 1/1.5, 1/1.3, 1, 1.3, 1.5, 1.7, 2)
E0 <- c(1/2, 1/7, 1/1.5, 1/1.3, 1, 1.3, 1.5, 1.7, 2)
E <- outer(E1, E0)
k_1 <- length(E1)
k_0 <- length(E0)

for (i in 1:k_1) {
  for (j in 1:k_0) {
    E[i, j] <- os_est(z, y, x, e1 = E1[i], e0 = E0[j])[4]
  }
}
colnames(E) <- c("1/2", "1/1.7", "1/1.5", "1/1.3", "1", "1.3", "1.5", "1.7", "2")
row.names(E) <-  c("1/2", "1/1.7", "1/1.5", "1/1.3", "1", "1.3", "1.5", "1.7", "2")
round(E, 2)

        1/2 1/1.7 1/1.5 1/1.3     1   1.3    1.5    1.7      2
1/2   14.62 18.66 12.73 11.57  8.96  5.57   3.30   1.04  -2.36
1/1.7 59.52 63.56 57.63 56.47 53.86 50.46  48.20  45.94  42.54
1/1.5 10.13 14.17  8.24  7.08  4.47  1.08  -1.19  -3.45  -6.85
1/1.3  8.33 12.38  6.45  5.29  2.67 -0.72  -2.98  -5.25  -8.64
1      5.64  9.68  3.75  2.59 -0.02 -3.41  -5.68  -7.94 -11.34
1.3    3.57  7.61  1.68  0.52 -2.09 -5.49  -7.75 -10.01 -13.41
1.5    2.65  6.69  0.76 -0.40 -3.01 -6.41  -8.67 -10.93 -14.33
1.7    1.94  5.98  0.06 -1.11 -3.72 -7.11  -9.38 -11.64 -15.03
2      1.15  5.19 -0.74 -1.90 -4.51 -7.90 -10.17 -12.43 -15.83

Note que o sinal do efeito causal não é sensível aos parâmetros de sensibilidade maiores do que 1. Ou seja, quando os participantes do programa da merenda escolar tem maiores IMC (i.e, \(\varepsilon_1(X) > 1\) e \(\varepsilon_0(X)>1\)), o efeito causal médio é negativo. Contudo, esta conclusão é bastante sensível se os participantes do programa tem IMC baixos.

Referências

• Peng Ding (2023). A First Course in Causal Inference. Capítulo 18.