Modelos de Equações Simultâneas
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC),
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP).
[Wooldridge, 2023] Sejam:
Então, uma função simples da oferta de mão de obra é \[h_o = \alpha_1 w + \beta_1 z_1 + u_1\]
Sejam:
Então, uma função simples da demanda de mão de obra é \[h_d = \alpha_2 w + \beta_2 z_2 + u_2\]
Note que ambas as equações descrevem relações diferentes:
Se ambas as equações tem relações diferentes e tem uma interpretação causal diferente, como é que elas se tormam interligadas?
Elas se tornam interligadas porque salários e horas observadas são determinadas pela interseção da oferta e da demanda. Ou seja, por exemplo, para cada município \(i\), as horas observadas e os salários observados são determinados pela condição de equilibrio \[h_{io} = h_{id}\]
Assim, nossas equações se tornam:
\[h_i = \alpha_1 w_i + \beta_1 z_{i1} + u_{i1}\]
\[h_i = \alpha_2 w_i + \beta_2 z_{i2} + u_{i2}\]
Os municípios estão interessados em determinar em que proporção a imposição de mais policiais diminuirá suas taxas de assaltos. Um modelo simples para tratar desta questão é o seguinte:
\[assalpc = \alpha_1 polpc + \beta_{10} + \beta_{11}incpc + u_1,\] em que:
Se polpc for exógeno, poderiamos aplicar MQO sem problemas. Mas… será que polpc é exógeno?
Provavelmente não. O gasto com a força policial é, pelo menos parcialmente, determinado pelo número esperado de assaltos per capita (afinal, em uma cidade com poucos assaltos, por que invistiriamos tanto em policiais?). Ou seja
\[polpc = \alpha_2 assalpc + \beta_{20} + \text{outros fatores}\]
Assim, cidades com taxas (esperadas) maiores de assalto, terão mais policiais per capita.
Assim que especificarmos os outros fatores, teremos um modelo de equações simultâneas com duas equações.
Ainda queremos saber se, se uma cidade aumentar sua força policial, esse aumento, em média, dimunuirá a taxa de assaltos?. Contudo, para responder à pergunta precisamos saber a relação existente na segunda equação.
Seja um modelo com \(g\) equações em que a \(i\)-éssima equação é dada por:
\[\textbf{y}_i = \textbf{X}_i \boldsymbol{\beta}_i + \textbf{u}_i,\]
em que:
Assim,
\[\textbf{y}_i = \textbf{X}_{1i} \boldsymbol{\beta}_{1i} + \textbf{X}_{2i} \boldsymbol{\beta}_{2i} + \textbf{u}_i,\]
Adicionalmente, vamos assumir que \[\mathbb{E}(u_{ti} u_{tj}) = \sigma_{ij} \quad \forall t, \quad e \quad \mathbb{E}(u_{ti}u_{sj}) = 0 \quad \forall t \neq s.\]
em que \(\sigma_{ij}\) é o elemento \(ij\) da matriz de covariância \(g \times g\), \(\Sigma\).
Assim como fizemos no modelo SUR, podemos converter o sistema de \(g\) equações em um sistema de apenas uma equação:
\[\textbf{y}_{\bullet} = \textbf{X}_{\bullet} \boldsymbol{\beta}_{\bullet} + \textbf{u}_{\bullet}, \quad \mathbb{E}(\textbf{u}_{\bullet}\textbf{u}_{\bullet}') = \Sigma \otimes I_n,\]
em que a notação utilizada é a mesma dos modelos SUR.
Então…
Se não fossse pelo fato de que \(\textbf{X}_i\) tem variáveis exógenas (\(\textbf{X}_{1i}\)) e endôgenas (\(\textbf{X}_{2i}\)), estariamos no caso de um modelo SUR?
Geralmente, quando o sistema da equações é escrito da forma \[\textbf{y}_i = \textbf{X}_i \boldsymbol{\beta}_i + \textbf{u}_i = \textbf{X}_{1i} \boldsymbol{\beta}_{1i} + \textbf{X}_{2i} \boldsymbol{\beta}_{2i} + \textbf{u}_i,\]
cada equação tem uma interpretação econômica direta. Cada uma destas equações, que retratam a estrutura de uma economia, são chamadas de equações estruturais e o sistema todo é dito estar na sua forma estrutural.
Considere \(\textbf{Y} = [\textbf{y}_1, \cdots, \textbf{y}_g]\) e \(\textbf{U} = [\textbf{u}_1, \cdots, \textbf{u}_g]\) matrizes \(n \times g\). Nesta notação, a forma estrutural pode ser representada como \[\textbf{Y} \boldsymbol{\Gamma} = \textbf{W} \textbf{B} + \textbf{U},\]
em que \(\textbf{W}_{n \times l}\) é uma matriz de variáveis exógenas cujas colunas são todas as colunas linearmente independentes dos \(\textbf{X}_{1i}\) e \(\boldsymbol{\Gamma}_{g \times g}\), bem como \(\textbf{B}_{l \times g}\) são escolhidas de tal forma que a forma reduzida e a forma estrutural sejam equivalentes (\(\boldsymbol{\Gamma}\) é não singular).
\[\textbf{Y} = \textbf{W} \textbf{B} \boldsymbol{\Gamma}^{-1}+ \underbrace{\textbf{U} \boldsymbol{\Gamma}^{-1}}_{\textbf{V}} = \textbf{W} \textbf{B} \boldsymbol{\Gamma}^{-1} + \textbf{V}.\]
Esta representação é chamada de forma reduzida e as equações que a componem são chamadas de equações na forma reduzida.
\[\textbf{Y} = \textbf{W} \textbf{B} \boldsymbol{\Gamma}^{-1} + \textbf{V}.\]
Esta representação é chamada de forma reduzida e as equações que a componem são chamadas de equações na forma reduzida.
Forma reduzida
Uma equação na forma reduzida é aquela que expressa uma variável endógena apenas em termos das variáveis exógenas e dos termos de erros.
Problema de identificação
Entendemos por problema de identificação à possibilidade de recuperar (ou não) os parâmetros de uma equação estrutural a partir dos coeficientes estimados da forma reduzida.
Forma reduzida
Uma equação na forma reduzida é aquela que expressa uma variável endógena apenas em termos das variáveis exógenas e dos termos de erros.
Considere o seguinte modelo estrutural:
\[\text{Função de demanda:} \quad q^d = \alpha_1 + \beta_1p + u_1 \quad (\beta_1 < 0)\]
\[\text{Função de oferta:} \quad q^o = \alpha_2 + \beta_2 p + u_2 \quad (\beta_2 > 0)\]
em que \(q\) é o consumo per capita de leite e \(p\) o preço médio por litro.
Pela condição de equilibrio:
\[\alpha_1 + \beta_1 p + u_1 = \alpha_2 + \beta_2 p + u_2\]
Isolando o preço, temos a equação reduzida para o preço:
\[ p = \underbrace{\dfrac{\alpha_2 - \alpha_1}{\beta_1 - \beta_2}}_{\pi_1} + \underbrace{\dfrac{u_2 - u_1}{\beta_1 - \beta_2}}_{v_1}\]
Substituindo na segunda equação: \[q = \alpha_2 + \beta_2 \dfrac{\alpha_2 - \alpha_1}{\beta_1 - \beta_2} + \beta_2 \dfrac{u_2 - u_1}{\beta_1 - \beta_2} + u_2\]
\[q = \underbrace{\dfrac{\alpha_2 \beta_1- \alpha_1 \beta_2}{\beta_1 - \beta_2}}_{\pi_2} + \underbrace{\dfrac{\beta_1 u_2 - \beta_2 u_1}{\beta_1 - \beta_2}}_{v_2}\]
Note que nas equações da forma reduzida existem apenas 2 parâmetros a serem estimados e que estes são funções dos parâmetros estruturais. Assim, em geral, de forma indireta, podemos tentar estimar os parâmetros reduzidos por MQO e tentar recuperar os parâmetros estruturais (procedimento conhecido como mínimos quadrados indiretos).
Infelizmente, recuperar os parâmetros não sempre é possível. De fato, no exemplo apresentado é impossível recuperar os parâmetros estruturais com base nos parâmetros reduzidos (temos 2 parâmetros na forma reduzida e 4 parâmetros na forma estrutural), ou seja, as equações não são identificadas.
Na prática, existem condições simples para saber se uma equação é ou não identificada:
Condição de classificação
A primeira equação em um modelo de equações simultâneas com duas equações será identificada se, e somente se, a segunda equação contiver ao menos uma variável exógena (com coefificiente diferente de zero) que esteja excluida da primeira equação
Condição de ordem
Seja \(M\) o número de v. endógenas no modelo, \(m\) o número de v. endógenas em uma dada equação, \(K\) o número de variáveis exógenas no modelo (incluino o intercepto) e \(k\) o número de variáveis exógenas em uma data equação (incluindo o intercepto, se for o caso). Em um modelo com \(M\) equações simultâneas, para que uma dada equação seja identificada, deve ocorrer que \[K - k \geq m - 1.\]
Pense no seguinte sistema de equações:
\[y_1 = \alpha_1 y_2 + \beta_1 z_1 + u_1,\]
\[y_2 = \alpha_2 y_1 + \beta_2 z_2 + u_2,\]
em que \(z_1\) e \(z_2\) são exôgenas (de forma que cada uma é não correloacionada com \(u_1\) e \(u_2\)),
Em que o interesse principal está em estimar a primeira equação.
Será que \(\mathbb{C}or(y_2, u_1) = 0\)?
Susbtituindo a primeira na segunda equação:
\[y_2 = \alpha_2 (\alpha_1 y_2 + \beta_1 z_1 + u_1) + \beta_2 z_2 + u_2\]
\[(1 - \alpha_1 \alpha_2) y_2 = \alpha_2 \beta_1 z_1 + \alpha_2 u_1 + \beta_2 z_2 + u_2\]
Assumindo que \(\alpha_1 \alpha_2 \neq 1\),
\[y_2 = \underbrace{\dfrac{\alpha_2 \beta_1}{(1 - \alpha_1 \alpha_2)}}_{\pi_{21}}z_1 + \underbrace{\dfrac{\beta_2}{(1 - \alpha_1 \alpha_2)}}_{\pi_{22}}z_2 + \underbrace{\dfrac{\alpha_2 u_1 + u_2}{(1 - \alpha_1 \alpha_2)}}_{v_2},\]
\[\mathbb{C}ov(y_2, u_1) = \mathbb{C}ov(\pi_{21}z_1 + \pi_{22}z_2 + v_2, u_1)\]
\[\mathbb{C}ov(y_2, u_1) = \pi_{21} \mathbb{C}ov(z_1, u_1) + \pi_{22} \mathbb{C}ov(z_2, u_1), + \mathbb{C}ov(v_2, u_1)\]
\[\mathbb{C}ov(y_2, u_1) = \mathbb{C}ov(v_2, u_1) = \mathbb{C}ov(\dfrac{\alpha_2 u_1 + u_2}{(1 - \alpha_1 \alpha_2)}, u_1) = \dfrac{\alpha_2}{1-\alpha_1 \alpha_2} \sigma^2_1 \neq 0\]
Quando \(y_2\) for correlacionado com \(u_1\) por causa da simultaneidade, dizemos que MQO sobre de viés de simultaneidade.
MQO produz estimadores viesados e incosistentes quando aplicado a uma equação estrutural em um sistema de equações simultânes.Se MQO não funciona para estimar os parâmetros estruturais, o que podemos fazer?
O que mais acontece na prática é termos equações sobreidentificadas.
Uma vez que tenhamos a equação identificada, podemos estimá-la por MQ2E, onde as variáveis instrumentais consistirão das variáveis exógenas que aparecem em cada equação.
Estamos interessados em estimar a equação da oferta de mão de obra de mulheres casadas que já estejam na força de trabalho. Para isto consideraremos a seguinte equação:
\[hour = \beta_{10} + \alpha_1 \log(wage) + \beta_{11}educ + \beta_{12} age + \beta_{13}kidslt6 + \beta_{14} nwifeinc + u_1,\]
em que:
variáveis exógenas: \(educ\), \(age\), \(kidslt6\), \(nwifeinc\), \(exper\), \(exper^2\)
Pela condição de classificação: a primeira equação (no nosso caso a equação da oferta) será identificada se, e somente se, a segunda equação contiver ao menos uma variável exógena (com coeficiente diferente de zero) que esteja excluida da primeira equação.
Note que na primeira equação nem \(exper\) nem \(exper^2\) aparecem, ou seja, a segunda equação contem duas variáveis exógenas que foram excluidas da primeira equação. Basta apenas verificar que pelo menos um dos parâmetros associados a essas variáveis é diferente de zero (o que pode ser feito utlizando a forma reduzida e um teste F).
Analysis of Variance Table
Model 1: log(wage) ~ educ + age + kidslt6 + nwifeinc
Model 2: log(wage) ~ educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + I(exper^2)
Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
1 423 195.14
2 421 186.86 2 8.2815 9.3293 0.0001085 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Exatamente identificado ou sobreidentificado?
Condição de ordem
Seja \(M\) o número de v. endógenas no modelo, \(m\) o número de v. endógenas em uma dada equação, \(K\) o número de variáveis exógenas no modelo (incluino o intercepto) e \(k\) o número de variáveis exógenas em uma dada equação (incluindo o intercepto, se for o caso). Em um modelo com \(M\) equações simultâneas, para que uma dada equação seja identificada, deve ocorrer que \[K - k \geq m - 1.\]
Exatamente identificado ou sobreidentificado?
\[\underbrace{K - k}_3 \geq \underbrace{m - 1}_{0}?\]
Sim, e o modelo é sobreidentificado (\(K - k > m - 1\)).
Basta então aplicarmos MQ2E considerando todas as variáveis exógenas no sistema como instrumentos.
Call:
ivreg(formula = hours ~ log(wage) + educ + age + kidslt6 + nwifeinc |
educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + I(exper^2), data = mroz)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-4570.13 -654.08 -36.94 569.86 8372.91
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2225.662 574.564 3.874 0.000124 ***
log(wage) 1639.556 470.576 3.484 0.000545 ***
educ -183.751 59.100 -3.109 0.002003 **
age -7.806 9.378 -0.832 0.405664
kidslt6 -198.154 182.929 -1.083 0.279325
nwifeinc -10.170 6.615 -1.537 0.124942
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1354 on 422 degrees of freedom
Multiple R-Squared: -2.008, Adjusted R-squared: -2.043
Wald test: 3.441 on 5 and 422 DF, p-value: 0.004648 Note o que acontece se tivessemos ajustado o modelo por MQO
Call:
lm(formula = hours ~ log(wage) + educ + age + kidslt6 + nwifeinc,
data = mroz)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1364.8 -675.4 48.2 559.6 3588.2
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1523.7748 305.5755 4.987 8.99e-07 ***
log(wage) -2.0468 54.8801 -0.037 0.97027
educ -6.6219 18.1163 -0.366 0.71491
age 0.5623 5.1400 0.109 0.91295
kidslt6 -328.8584 101.4573 -3.241 0.00128 **
nwifeinc -5.9185 3.6833 -1.607 0.10884
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 766.6 on 422 degrees of freedom
(325 observations deleted due to missingness)
Multiple R-squared: 0.03611, Adjusted R-squared: 0.02469
F-statistic: 3.162 on 5 and 422 DF, p-value: 0.008173ou seja, salário não exerce nenhum efeito sobre o salário. Isto, pois aplicamos MQO mesmo sabendo que \(\log(wage)\) é endógeno.
Para verificar que \(\log(wage)\) é de fato endógeno, pode aplicar um teste de endogeneidade.
Teste de endogeneidade
Suponha que temos uma única variável suspeita de ser endógena (\(y_2\)),
\[y_1 = \beta_0 + \beta_1 y_2 + \beta_2 z_1 + \beta_3 z_2 + u,\] em que \(z_3\) e \(z_4\) são outras duas variáveis exógenas que não aparecem na equação.
Se \(y_2\) não for correlacionado com \(u\), devemos utilizar MQO, mas se isso não for verdade devemos preferir MQ2E.
Teste de endogeneidade
Pense no modelo na sua forma reduzida, \[y_2 = \pi_0 + \pi_1 z_1 + \pi_2 z_2 + \pi_3 z_3 + \pi_4 z_4 + v.\]
\(y_2\) será não correlacionado com \(u\) se e somente se \(v\) e \(u\) forem não correlacionados. Assim, podemos ajustar o modelo \[u = \gamma v + e.\] Se \(u\) e \(v\) forem não correolacionados, então \(\gamma = 0\).
Uma forma simples de se fazer isso é ajustar a regressão \[y_1 = \beta_0 + \beta_1 y_2 + \beta_2 z_1 + \beta_3 z_3 + \gemma \hat{v} + erro,\] e testar através de um teste \(T\) se \(H_0: \gamma = 0\).
Teste de endogeneidade
O que acontece se não estivermos interessados em apenas uma equação mas no sistema todo?
\[\hat{\boldsymbol{\beta}}_{\bullet}^{MQ3E} = (\textbf{X}_{\bullet}' (\hat{\Sigma}_{MQ2E} \otimes P_{\textbf{W}})\textbf{X}_{\bullet})^{-1}\textbf{X}_{\bullet} (\hat{\Sigma}_{MQ2E} \otimes P_{\textbf{W}}) \textbf{y}_{\bullet}\]
\[\hat{\mathbb{V}}(\hat{\boldsymbol{\beta}}_{\bullet}^{MQ3E}) = (\textbf{X}_{\bullet}' (\hat{\Sigma}_{MQ2E} \otimes P_{\textbf{W}})\textbf{X}_{\bullet})^{-1} \]
A função systemfit() estima por MQ3E.
Carlos Trucíos (IMECC/UNICAMP) | ME715 - Econometria | ctruciosm.github.io