ME715 - Econometria

Problemas adicionais de especificação e de dados

Prof. Carlos Trucíos
ctrucios@unicamp.br

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC),
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP).

Introdução

Vimos que heterocedasticidade não causa vies nos estimadores de MQO, mas a variância do estimador precisa ser corrigida para termos inferências válidas. Podemos também utilizar MQP.
Vimos também que erros autocorrelacionados não causam vies nos estimadores (quando $\textbf{X}$ não contém variáveis defasadas de $Y$), mas a variância do estimador precisa ser corrigida para termos inferências válidas. Podemos também utilizar MQG (MQGF).
Hoje veremos mais alguns detalhes aos quais devemos nos atentar na hora de construir um modelo de regressão.

Má-especificação da forma funcional.

“Um modelo de regressão múltipla sofre de má-especificação da forma funcional quando não explica de maneira apropriada a relação entre as variáveis explicativas e a variável dependente.” Jeffrey Wooldridge

Suponha que \[\log(wage) = \beta_0 + \beta_1 educ + \beta_2 exper + \beta_3 exper^2 +u.\] Se, por exemplo, omitirmos $exper^2$, estamos comentendo uma má-especificação da forma funcional.

Outros exemplos de má-especificação da forma funcional são:

utilizar $wage$ em lugar de $\log(wage)$.
Omitir efeitos de iteração quando estes são necessários.

Má-especificação da forma funcional.

Uma forma de detectar uma forma funcional mal-especificada é através do teste F.

Podemos incluir os termos quadráticos das variáveis estatísticamente significativas.
Aplicamos um teste F para testar a significância conjunta destas variáveis.
Se os termos quadráticos forem significativos, podemos incluí-los no modelo (ao custo de complicar a interpretação).

Cuidado: termos quadráticos significativos podem ser consequência de outros problemas de má-especificação. Por exemplo, usar uma variável em nível quando o logaritmo sería mais apropriado, ou vice-versa.

Geralmente, termos quadráticos e $\log(\cdot)$ são suficientes para lidar com relações não lineares.

Má-especificação da forma funcional.

Exemplo

Estamos interessados em verificar se a média do tempo das penas cumpridas de condenações passadas (avgsen) afeta o número de prisões no ano de 1986 (narr86). Para isto utilizamos o dataset crime1 do pacote wooldridge e as variáveis pcnv (proporção de condenações anteriores), tottime (tempo em prisão desde os 18 anos), ptime86(meses em prisão durante 1986), qemp86 (trimestres empregado), inc86 (salário em $.100), black (1 = negro), hispan (1 = hispano).

Rows: 2,725
Columns: 9
$ narr86  <int> 0, 2, 1, 2, 1, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 3,…
$ pcnv    <dbl> 0.38, 0.44, 0.33, 0.25, 0.00, 1.00, 0.44, 0.75, 0.33, 0.23, 0.…
$ avgsen  <dbl> 17.6, 0.0, 22.8, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 10.9, 0.0, 0.0, 31.7…
$ tottime <dbl> 35.2, 0.0, 22.8, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 21.8, 0.0, 0.0, 63.4…
$ ptime86 <int> 12, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 9, 0, 0, 12, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, …
$ qemp86  <dbl> 0.0, 1.0, 0.0, 2.0, 2.0, 4.0, 0.0, 0.0, 0.0, 3.0, 4.0, 0.0, 4.…
$ inc86   <dbl> 0.0, 0.8, 0.0, 8.8, 8.1, 97.6, 0.0, 0.0, 0.0, 16.7, 162.5, 0.0…
$ black   <int> 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0,…
$ hispan  <int> 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,…

Má-especificação da forma funcional.

Code

library(wooldridge)
modelo <- lm(narr86 ~ pcnv + avgsen + tottime + ptime86 + qemp86 + inc86 + black + hispan, data = crime1)
round(summary(modelo)$coefficients, 4)

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)   0.5687     0.0360 15.7766   0.0000
pcnv         -0.1332     0.0404 -3.3019   0.0010
avgsen       -0.0113     0.0122 -0.9246   0.3552
tottime       0.0120     0.0094  1.2742   0.2027
ptime86      -0.0408     0.0088 -4.6348   0.0000
qemp86       -0.0505     0.0144 -3.5000   0.0005
inc86        -0.0015     0.0003 -4.3702   0.0000
black         0.3265     0.0454  7.1892   0.0000
hispan        0.1939     0.0397  4.8831   0.0000

variáveis significativas: pcnv, ptime86, qemp86, inc86, black e hispan.

Má-especificação da forma funcional.

Code

library(wooldridge)
modelo_quadrados <- lm(narr86 ~ pcnv + I(pcnv^2)+ avgsen + tottime + ptime86 + I(ptime86^2) + qemp86 + inc86 + I(inc86^2) + black + hispan, data = crime1)
round(summary(modelo_quadrados)$coefficients, 4)

             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)    0.5046     0.0368 13.6990   0.0000
pcnv           0.5525     0.1542  3.5823   0.0003
I(pcnv^2)     -0.7302     0.1561 -4.6773   0.0000
avgsen        -0.0170     0.0121 -1.4121   0.1580
tottime        0.0120     0.0093  1.2878   0.1979
ptime86        0.2874     0.0443  6.4945   0.0000
I(ptime86^2)  -0.0296     0.0039 -7.6636   0.0000
qemp86        -0.0141     0.0174 -0.8118   0.4170
inc86         -0.0034     0.0008 -4.2493   0.0000
I(inc86^2)     0.0000     0.0000  2.8114   0.0050
black          0.2923     0.0448  6.5201   0.0000
hispan         0.1636     0.0395  4.1474   0.0000

Fazendo um teste F para testar \[H_0: \beta_{pcnv^2} = \beta_{ptime86^2} = \beta_{inc86^2} = 0,\]

obtemos um p-valor 5.9658573^{-20}). Isto indica que o modelo original não capturou algumas não linearidades importantes

Teste RESET

A ideia do teste de erro de especificação da regressão (RESET: regression specification error test) é que se o modelo original, digamos \[y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k + u,\] satisfazer HRLM4 ($\mathbb{E}(u|X) = 0$), nenhuma função não linear das variáveis explicativas deve ser estatísticamente significativa quando adicionada à regressão.

Considere a regressão expandida: \[y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k + \delta_1 \hat{y}^2 + \delta_2 \hat{y}^3 + v,\]

Se o modelo original estiver corretamente especificado, $\delta_1, \delta_2$ na regressão expandida deveriam ser conjuntamente zero. Assim, basta fazermos um teste F para testar $H_0: \delta_1 = 0, \delta_2 = 0$.

Teste RESET

Code

modelo_expandido <- lm(narr86 ~ pcnv + avgsen + tottime + ptime86 + qemp86 + inc86 + black + hispan + I(fitted(modelo)^2) + I(fitted(modelo)^3), data = crime1)
anova(modelo_expandido, modelo)$Pr[2]

[1] 0.00193751

Rejeitamos $H_0: \delta_1 = 0, \delta_2 = 0$ (ou seja, temos má-especificação da forma funcional.

Uma desvantagem do teste RESET é que ele não fornece orientações práticas de como proceder se má-especificação do modelo for detectada.

Teste RESET

Pense no seguinte caso:

Code

modelo <- lm(price ~ lotsize + sqrft + bdrms, data = hprice1)
modelo_expandido <- lm(price ~ lotsize + sqrft + bdrms + I(fitted(modelo)^2) +I(fitted(modelo)^3), data = hprice1)
anova(modelo_expandido, modelo)$Pr[2]

[1] 0.01202171

Rejeitamos $H_0: \delta_1 = 0, \delta_2 = 0$, ou seja, temos evidência para dizer que o modelo esta mal-especificado na sua forma funcional. O que fazer agora?

Teste RESET

Ideia 1: O mesmo que fizemos no exemplo anterior (quadrados)

Code

modelo_quadrado <- lm(price ~ lotsize + sqrft + bdrms + I(lotsize^2) + I(sqrft^2), data = hprice1)

round(summary(modelo_quadrado)$coefficients, 4)

             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)   36.2832    74.5865  0.4865   0.6279
lotsize        0.0114     0.0020  5.7039   0.0000
sqrft          0.0178     0.0617  0.2885   0.7737
bdrms         20.1927     7.9614  2.5363   0.0131
I(lotsize^2)   0.0000     0.0000 -4.9321   0.0000
I(sqrft^2)     0.0000     0.0000  1.1713   0.2449

Será que funcionou?

Code

modelo_quadrado_expandido <- lm(price ~ lotsize + sqrft + bdrms + I(lotsize^2) + I(sqrft^2) + I(fitted(modelo_quadrado)^2) +I(fitted(modelo_quadrado)^3), data = hprice1)
anova(modelo_quadrado_expandido, modelo_quadrado)$Pr[2]

[1] 0.004561889

Teste RESET

Uma desvantagem do teste RESET é que ele não fornece orientações práticas de como proceder se má-especificação do modelo for detectada 😢.

Veja o que acontece com o seguinte modelo:

Code

modelo_log <- lm(log(price) ~ log(lotsize) + log(sqrft) + bdrms, data = hprice1)
modelo_log_expandido <- lm(log(price) ~ log(lotsize) + log(sqrft) + bdrms + I(fitted(modelo_log)^2) + I(fitted(modelo_log)^3), data = hprice1)
anova(modelo_log_expandido, modelo_log)$Pr[2]

[1] 0.08307589

Se o teste RESET rejeita $H_0$, sabemos que temos má-especificação funcional. Contudo, não sabemos como fazer a correção (neste caso, aplicar $\log(\cdot)$ em algumas das variáveis funcionou).

O teste RESET é um teste geral da má-especificação da forma funcional. Ele nos diz se temos evidência (ou não) de má-especificação, mas não fornece orientações de como proceder se esta for detectada.

Testes contra alternativas não aninhadas

Suponha que estamos interessados em testar o modelo \[y_t = \beta_0 + \beta_1 x_{1t} + \beta_2 x_{2t} + u_t,\] contra o modelo \[y_t = \beta_0 + \beta_1 \log(x_{1t}) + \beta_2 \log(x_{2t}) + u_t,\]

Important

Este tipo de modelos são não aninhados, isso significa que nenhum dos modelos é um caso particular do outro.

Se fossem modelos aninhados, poderiamos utilizar testes F.
No caso de modelos não aninhados, não podemos utilizar testes F.

Testes contra alternativas não aninhadas

Alternativa 1:

Criar um modelo abrangente que inclua ambos os modelos como casos particulares. Em seguida, testar as restrições que levam a cada um dos modelos.

Exemplo:

\[y_t = \gamma_0 + \gamma_1 x_{1t} + \gamma_2 x_{2t} + \gamma_3 \log(x_{1t}) + \gamma_4 \log(x_{2t})+ u_t.\]

Testar $H_0: \gamma_3 = \gamma_4 = 0$.
Testar $H_0: \gamma_1 = \gamma_2 = 0$.

Esta abordagem foi proposta por Mizon e Richard (1986)

Testes contra alternativas não aninhadas

Alternativa 2: Teste de Davidson-MacKinnon

Ajustar o modelo $y = \beta_0 + \beta_1 \log(x_1) + \beta_2 \log(x_2) + u$ e obter $\hat{y}$.
Ajustar o modelo $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \theta \hat{y} + u$ e fazer um teste t ($H_0: \theta = 0$).

Como $\hat{y}$ obtido no passo 1 são apenas funções não lineares de $x_1$ e $x_2$, se o modelo $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + u$ for corretamente especificado ($\mathbb{E}(u|X) = 0$), então $\theta$ não deve ser diferente de zero.

De forma análoga, podemos:

Ajustar o modelo $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + u$ e obter $\hat{y}$.
Ajustar a regressão $y = \beta_0 + \beta_1 \log(x_1) + \beta_2 \log(x_2) + \theta \hat{y} + u$ e testar se $H_0: \theta = 0.$

Se nenhum modelo for rejeitado, podemos utilizar o $R^2_{Adj}$ para escolher um dos modelos.

Testes contra alternativas não aninhadas

Code

modelo <- lm(log(price) ~ lotsize + sqrft + bdrms, data = hprice1)
modelo_abrangente <- lm(log(price) ~ log(lotsize) + lotsize + log(sqrft) + sqrft + bdrms, data = hprice1)
anova(modelo, modelo_abrangente)

Analysis of Variance Table

Model 1: log(price) ~ lotsize + sqrft + bdrms
Model 2: log(price) ~ log(lotsize) + lotsize + log(sqrft) + sqrft + bdrms
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F  Pr(>F)  
1     84 3.0284                              
2     82 2.7325  2   0.29594 4.4404 0.01476 *
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Rejeitamos $H_0: \beta_{\log(lotsize)} = \beta_{\log(sqrft)} = 0$, ou seja, o modelo $\log(price) = \beta_0 + \beta_1 lotsize + \beta_2 sqrft + bdrms + u$ está mal-especificado.

Testes contra alternativas não aninhadas

Code

modelo_log <- lm(log(price) ~ log(lotsize) + log(sqrft) + bdrms, data = hprice1)
anova(modelo_log, modelo_abrangente)

Analysis of Variance Table

Model 1: log(price) ~ log(lotsize) + log(sqrft) + bdrms
Model 2: log(price) ~ log(lotsize) + lotsize + log(sqrft) + sqrft + bdrms
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     84 2.8626                           
2     82 2.7325  2   0.13007 1.9516 0.1486

Não rejeitamos $H_0: \beta_{lotsize} = \beta_{sqrft} = 0$. Logo, não encontramos evidência que o modelo $\log(price) = \beta_0 + \beta_1 \log(lotsize) + \log(sqrft) + bdrms + u$ seja mal-especificado. Assim, o modelo com $\log(\cdot)$ é preferido.

Variáveis proxy

Variáveis proxy para variáveis não observadas

Variáveis proxy são uma forma e lidar com variáveis omitidas que são não observadas (inteligência, honestidade, aptidão).

Seja o modelo \[\log(wage) = \beta_0 + \beta_1 educ + \beta_2 exper + \beta_3 abil + u.\]

Se ajustarmos o modelos sem a variável abil (habilidade), em geral, teremos estimadores viesados para $\beta$.
Como podemos resolver, ou pelo menos aliviar, o problema de vies da variável omitada? (pelo menos para $\beta_1$ e $\beta_2$)

Uma alternativa é utilizar uma variável proxy (afinal, abil não é observável)

Important

Uma variável proxy é uma variável que está relacionada com a variável não observada que gostaríamos de controlar.

Variáveis proxy para variáveis não observadas

Seja o modelo \[\log(wage) = \beta_0 + \beta_1 educ + \beta_2 exper + \beta_3 abil + u.\]

Qual seria uma variável proxy para abil?
Isso significa que abil e a variável proxy são a mesma coisa?

Seja o modelo $y = \beta_0 + \beta_1 x_2 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_3^{\ast} + u$, em que $x_3^{\ast}$ é não observável.
Seja $x_3$ uma proxy de $x_3^{\ast}$.
Como apenas precisamos que $x_3$ e $x_3^{\ast}$ sejam relacionadas, isto pode ser capturado pela equação \[x_3^{\ast} = \delta_0 + \delta_1 x_3 + v\]

Variáveis proxy para variáveis não observadas

Como podemos utilizar $x_3$ para obter estimadores não viesados (ou pelo menos consistentes) para $\beta_1$ e $\beta_2$?
Utilizar $x_3$ como se fosse $x_3^{\ast}$ e regredir $y$ sobre $x_1, x_2, x_3$ (método conhecido como solução plugada do problema de variáveis omitidas).
Como $x_3$ e $x_3^{\ast}$ não são as mesmas, devemos determinar quando, de fato, este procedimento produzira estimadores consistentes para $\beta_1$ e $\beta_2$.

Variáveis proxy para variáveis não observadas

Hipóteses necessárias para que a solução plugada forneça estimadores consistentes para $\beta_1$ e $\beta_2$.

$u$ é não correlacionado com $x_1, x_2, x_3^{\ast}$ e $x_3$.
$v$ é não correlacionado com $x_1, x_2, x_3$.

\[y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 \underbrace{x_3^{\ast}}_{x_3^{\ast} = \delta_0 + \delta_1 x_3 + v} + u\]

\[y = \underbrace{\beta_0 + \beta_3 \delta_0}_{\alpha_0} + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \underbrace{\beta_3 \delta_1}_{\alpha_3}x_3 + \underbrace{u + \beta_3 v}_{\epsilon}\]

Variáveis dependentes defasadas como proxy

Em alguns casos (como no exemplo anterior) temos uma vaga ideia de qual variável podemos incluir como proxy.
Em outras aplicações, suspeitamos que as variáveis independentes estejam relacionadas com uma variável não observada, mas não temos ideia de como obter uma proxy para esta variável.
Nessas situações, podemos incluir o valor da variável dependente de um período anterior (isto implica em modificar algumas suposições do modelo. Isto será visto na matéria de séries temporais).

Em geral, o uso de uma variável proxy ainda pode conduzir a vies se ela não satisfazer as hipóteses precedentes. Contudo, esperamos que o vies seja menor do que aquele obtido se omitirmos totalmente a variável.

MQO e erros de medida

Algumas vezes, não podemos coletar dados da variável que verdadeiramente afeta o fenômeno de interesse.
Quando utilizamos uma medida imprecisa de uma variável no modelo, o modelo conterá erro de medida.
Este erro de medida tem algumas consequências na estimação por MQO.

Importante

Variável proxy: procuramos por uma variável que está associada com a variável não observada.
Erro de medida: a variável que não observamos tem um significado quantitativo bem definido, mas as medidas sobre elas registradas por nós podem conter erros.

Exemplo: QI é proxy de aptidão, já renda anual declarada é uma medida (com erro) da renda anual efetiva.

Erro de medida na variável dependente

Seja $y^{\ast}$ a variável que queremos explicar e seja o modelo correto \[y^{\ast} = \beta_0 + \beta_1x_1 + \cdots + \beta_k x_k + u\]

Seja $y$ a variável declarada (pensem em $y^{\ast}$ como o a poupança familiar anual e em $y$ como a poupança anual registrada).

O erro de medida é definido como a diferença entre o valor observado e o valor real, \[e_0 = y - y^{\ast}\]

Subtituindo no modelo original, temos \[y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \cdots + \beta_k x_k + \underbrace{u + e_0}_{erro}\]

Qual o efeito de aplicar MQO com $y$ em lugar de $y^{\ast}$?

Erro de medida na variável dependente

Qual o efeito de aplicar MQO com $y$ em lugar de $y^{\ast}$?

Se $\mathbb{E}(e_0) \neq 0$, teremos um estimador viesado para $\beta_0$.
Se $\mathbb{E}(e_0|x) = 0$, teremos estimadores não viesados para $\beta$.
Se $u$ e $e_0$ forem não correlacionados, $\mathbb{V}(u + e_0) = \sigma^2_u + \sigma^2_{e_0} > \sigma^2_u·$

O erro de medida na variável dependente pode causar vies no método MQO se este for relacionado com uma ou mais variáveis explicativas. Já se o erro de medida for não correlacionado com as variáveis explicativas, a estimação por MQO possuirá boas propriedades.

Erro de medida em uma variável explicativa

Seja \[y = \beta_0 + \beta_1 x_1^{\ast} + u,\] e assuma que as hipóteses de Gauss-Markow são satisfeitas.

O problema é que $x_1^{\ast}$ não é observado.

Em vez disso, temos uma medida de $x_1^{\ast}$ que chamaremos de $x_1$. O erro de medida é \[e_1 = x_1 - x_1^{\ast}.\]

O que acontece se simplesmente substituirmos $x_1$ por $x_1^{\ast}$ e aplicamos MQO?

A resposta depende fortemente das suposições que fizermos sobre o erro de medida

Erro de medida em uma variável explicativa

Duas hipóteses têm sido enfaizadas na litertura:

$\mathbb{C}ov(x_1, e_1) = 0$:

Se substituirmos $x_1^{\ast}$ no modelo anterior por $x_1 - e_1,$ temos \[y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + u - \beta_1e_1,\]

Uma suposição presente em ambas as hipóteses que tem sido enfatizadas é que $u$ e $e_1$ tem média zero.

Se além disso, utlizarmos o fato que tanto $u$ quanto $e_1$ são não correlacionados com $x_1$, $\hat{\beta}_{MQO}$ terá boas propriedades mas a variâncias de $\mathbb{V}(u - \beta_1e_1) = \sigma_u^2 + \beta_1^2 \sigma_{e_1}^2 > \sigma_u^2$.

Erro de medida em uma variável explicativa

$\mathbb{C}ov(x_1^{\ast}, e_1) = 0$ (suposição conhecida como erro clássico nas variáveis - CEV):

\[\mathbb{C}ov(x_1,e_1) = \mathbb{E}(x_1e_1) = \mathbb{E}((x_1^{\ast} + e_1)e_1) = \underbrace{\mathbb{E}(x_1^{\ast}e_1)}_{0} + \underbrace{\mathbb{E}(e_1^2)}_{\sigma^2_{e_1}} \neq 0\]

Assim, \[\mathbb{C}ov(x_1, u-\beta_1e_1) = \mathbb{C}ov(x_1, u) - \mathbb{C}ov(x_1, \beta_1e_1) = -\beta_1\sigma^2_{e_1}\]

O que levara a um estimador viesado.

Problemas com dados

Dados faltantes

Não é raro que, após coletarmos informações de uma a.a de pessoas*, descubramos que estão faltandando informações em uma ou mais variáveis.
Via de regra, quando uma dado faltante for detectado (seja na variável dependente ou alguma das independentes), a observação toda não é levada em consideração na análise de regressão.
Um estimador que usa unicamente observações “completas” é chamado estimador de caso completo.
Será que, além da diminuição do tamanho amostral, existe alguma consequência de usar um estimador de caso completo?

Dados faltantes

Se os dados estão ausentes de forma completamente aleatória (MCAR: missing completely at random), então excluir essas observações com dados faltantes não causa maiores problemas 😄.

MCAR implica que os dados faltantes não são determinados pelo valor da observação na variável (random) nem pelo valor de alguma outra variável (também random).

Infelizmente, MCAR não é o único tipo de dado faltante que pode acontecer.

Dados faltantes

MAR

MAR (missing at random): Quando o dado faltante é aleatório na variável mas relacionado com os valores de outras variáveis.
Este tipo de dado faltante precisa de um método mais sofisticado de imputação (como MICE)

MNAR

MNAR (missing not at random): Quando existe um padrão de dados faltante na variável.
Exemplo: pessoas com altos salarios às vezes preferem não declarar o salário.
Neses casos, a solução é coletar mais dados.

Dados faltantes

Outra solução, quanto temos valores faltantes MCAR, consiste no seguinte:

Imagine o modelo de RLM e que estão disponíveis as variáveis $Y$, $X_1, \cdots, X_{k-1}$ sem dados faltantes.
Contudo, a variável $X_k$, também no modelo, está disponível mas com alguns dados faltantes.
Em lugar de exclur todas as observações que tem dados faltantes nessa variável, podemos criar duas novas variáveis, $Z_k$ e $m_k$.
$Z_k = X_k$ quando não tivermos dado faltante e 0 caso contrário. $m_k$ será uma dummy que funciona como “indicador de dados faltantes”. Dessa forma, incluimos todas as observações na regressão de $Y$ sobre $X_1, \cdots, X_{k-1}, Z_k, m_k$.