Modelos de regressão em dados de séries temporais II

ME607 - Séries Temporais

Prof. Carlos Trucíos
ctrucios@unicamp.br

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC),
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP).

Introdução

Introdução

  • Na aula anterior vimos como incluir termos de tendência:
    • Tendência Linear: \(y_t = \alpha_0 + \alpha_1 t + e_t\),
    • Tendência Quadrática: \(y_t = \alpha_0 + \alpha_1 t + \alpha_2 t^2 + e_t\),
    • Tendência Cúbica: \(y_t = \alpha_0 + \alpha_1 t + \alpha_2 t^2 + \alpha_3 t^3 + e_t\).
  • Na aula de hoje aprenderemos a utilizar outros preditores úteis quando trabalhamos com modelos de regressão em um contexto de séries temporais.
  • Discutiremos como fazer previsão neste tipo de modelos.

Regressores úteis

Variáveis Dummy

  • Utilizada para tomar conta das diferenças nos diversos períodos sazonais.
  • Utilizada para dividir períodos de tempo. Por exemplo:
    • posicionamento politico na presidencia: direita ou esquerda,
    • período covid: antes do covid e depois do covid (março 12, 2020),
    • antes e depois do 11-09-2001,
    • antes e depois de determinada politica na empresa (ou politica pública),
    • feriados
    • eventos raros: copa do mundo, jogos olimpicos, etc.

Regressores úteis

Variáveis Dummy

dias D1 D2 D3 D4 D5 D6
Segunda 1 0 0 0 0 0
Terça 0 1 0 0 0 0
Quarta 0 0 1 0 0 0
Quinta 0 0 0 1 0 0
Sexta 0 0 0 0 1 0
Sábado 0 0 0 0 0 1
Domingo 0 0 0 0 0 0
Segunda 1 0 0 0 0 0

Regressores úteis

Variáveis Dummy

Estacoes D1 D2 D3
Primaveira 1 0 0
Verão 0 1 0
Outono 0 0 1
Inverno 0 0 0
Primaveira 1 0 0
Verão 0 1 0

Regressores úteis

Dias de negociação

Dependo do que queremos prever, o numero de dias úteis (ou dias de negociação) pode influenciar em, por exemplo, o volume de vendas mensal.

  • Incluir uma variável com o número de dias úteis no mês pode ser útil para nosso modelo.
  • Outra alternativa é incluir o número de cada dia da semana em que houve negociação. Por exemplo:
  • \(x_1:\) número de segundas-feiras no mês.
  • \(x_2:\) número de terças-feiras no mês.
  • \(\vdots\)
  • \(x_6:\) número de sábados no mês.
  • \(x_7:\) número de domingos no mês.

Regressores úteis

Variáveis defasadas

Podemos pensar que, por exemplo, o número de vendas depende dos gastos em publicidade. Contudo, às vezes os gastos em publicidade do mês anterior poderiam ter um efeito nas vendas do mês atual. Nesse sentido, incluir variáveis defasadas pode ajudar a melhorar o modelo.

  • \(x_1:\) gasto em publicidade no mês anterior.
  • \(x_2:\) gasto em publicidade há dois meses.
  • \(\vdots\)
  • \(x_m:\) gasto em publicidade há \(m\) meses.

Regressores úteis

Páscoa

A páscoa não acontece todo ano no mesmo periodo, páscoa pode afetar diferentes negócios (turismo, por exemplo). Incluir no modelo uma variável que tome conta desse fator pode ser interessante. Nestes casos podemos:

  • Incluir variáveis dummy nos dias da páscoa,
  • Se trabalharmos com dados mensais, incluir uma dummy no mês que a páscoa cair.

Regressores úteis

Séries de Fourier

  • É uma alternativa ao uso de variáveis dummy em dados sazonais.
  • Para um período sazonal \(m\) temos:
  • \(x_1 = \sin(\dfrac{2\pi t}{m}), \quad x_2 = \cos(\dfrac{2\pi t}{m}),\)
  • \(x_3 = \sin(\dfrac{4\pi t}{m}), \quad x_4 = \cos(\dfrac{4\pi t}{m}),\)
  • \(x_5 = \sin(\dfrac{6\pi t}{m}), \quad x_6 = \cos(\dfrac{6\pi t}{m}),\)
  • \(\vdots\)

Uma regressão que inclui termos de Fourier, é chamada “modelo de regressao harmônica”.

Tendência + Sazonalidade

Tendência + Sazonalidade

Code 
library(fpp3)
library(dplyr)
aus_production %>% filter(year(Quarter) >= 1992) %>% autoplot(Beer)

Contruiremos um modelo da forma \[Beer_t = \beta_0 + \beta_1 t + \beta_2 D_{2,t} + \beta_3 D_{3,t} + \beta_4 D_{4,t} + \epsilon_t,\] em que \(D_{i,t} = 1\) se \(t \in\) Trimestre \(i\) e 0, caso contrário.

Tendência + Sazonalidade

Code 
modelo_dummy <- aus_production %>% filter(year(Quarter) >= 1992) %>%
  model(TSLM(Beer ~ trend() + season())) 
modelo_fourier <- aus_production %>% filter(year(Quarter) >= 1992) %>%
  model(TSLM(Beer ~ trend() + fourier(K = 2)))
Code 
report(modelo_dummy)
Series: Beer 
Model: TSLM 

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-42.9029  -7.5995  -0.4594   7.9908  21.7895 

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   441.80044    3.73353 118.333  < 2e-16 ***
trend()        -0.34027    0.06657  -5.111 2.73e-06 ***
season()year2 -34.65973    3.96832  -8.734 9.10e-13 ***
season()year3 -17.82164    4.02249  -4.430 3.45e-05 ***
season()year4  72.79641    4.02305  18.095  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 12.23 on 69 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9243, Adjusted R-squared: 0.9199
F-statistic: 210.7 on 4 and 69 DF, p-value: < 2.22e-16
Code 
report(modelo_fourier)
Series: Beer 
Model: TSLM 

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-42.9029  -7.5995  -0.4594   7.9908  21.7895 

Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        446.87920    2.87321 155.533  < 2e-16 ***
trend()             -0.34027    0.06657  -5.111 2.73e-06 ***
fourier(K = 2)C1_4   8.91082    2.01125   4.430 3.45e-05 ***
fourier(K = 2)S1_4 -53.72807    2.01125 -26.714  < 2e-16 ***
fourier(K = 2)C2_4 -13.98958    1.42256  -9.834 9.26e-15 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 12.23 on 69 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9243, Adjusted R-squared: 0.9199
F-statistic: 210.7 on 4 and 69 DF, p-value: < 2.22e-16

Tendência + Sazonalidade: Dummy

Code 
augment(modelo_dummy) %>%
  ggplot(aes(x = Quarter)) +
  geom_line(aes(y = Beer, colour = "Data")) +
  geom_line(aes(y = .fitted, colour = "Fitted")) +
  scale_colour_manual(values = c(Data = "black", Fitted = "red")) + ylab("Megalitros") + xlab("Trimestre") + ggtitle("Produção trimestral de cerveja australiana") + 
   guides(colour = guide_legend(title = "Séries"))

Tendência + Sazonalidade: Fourier

Code 
augment(modelo_fourier) %>%
  ggplot(aes(x = Quarter)) +
  geom_line(aes(y = Beer, colour = "Data")) +
  geom_line(aes(y = .fitted, colour = "Fitted")) +
  scale_colour_manual(values = c(Data = "black", Fitted = "blue")) + ylab("Megalitros") + xlab("Trimestre") + ggtitle("Produção trimestral de cerveja australiana") + 
   guides(colour = guide_legend(title = "Séries"))

Tendência + Sazonalidade: Diagnóstico

Code 
modelo_dummy %>% gg_tsresiduals()

Code 
tidy(modelo_dummy)
# A tibble: 5 × 6
  .model                          term          estim…¹ std.e…² stati…³  p.value
  <chr>                           <chr>           <dbl>   <dbl>   <dbl>    <dbl>
1 TSLM(Beer ~ trend() + season()) (Intercept)   442.     3.73    118.   2.02e-81
2 TSLM(Beer ~ trend() + season()) trend()        -0.340  0.0666   -5.11 2.73e- 6
3 TSLM(Beer ~ trend() + season()) season()year2 -34.7    3.97     -8.73 9.10e-13
4 TSLM(Beer ~ trend() + season()) season()year3 -17.8    4.02     -4.43 3.45e- 5
5 TSLM(Beer ~ trend() + season()) season()year4  72.8    4.02     18.1  6.68e-28
# … with abbreviated variable names ¹​estimate, ²​std.error, ³​statistic
Code 
augment(modelo_dummy) |> features(.innov, box_pierce, lag = 8, dof = 5)
# A tibble: 1 × 3
  .model                          bp_stat bp_pvalue
  <chr>                             <dbl>     <dbl>
1 TSLM(Beer ~ trend() + season())    9.53    0.0230
Code 
augment(modelo_dummy) |> features(.innov, ljung_box, lag = 8, dof = 5)
# A tibble: 1 × 3
  .model                          lb_stat lb_pvalue
  <chr>                             <dbl>     <dbl>
1 TSLM(Beer ~ trend() + season())    10.4    0.0157
Code 
modelo_fourier %>% gg_tsresiduals()

Code 
tidy(modelo_fourier)
# A tibble: 5 × 6
  .model                                term    estim…¹ std.e…² stati…³  p.value
  <chr>                                 <chr>     <dbl>   <dbl>   <dbl>    <dbl>
1 TSLM(Beer ~ trend() + fourier(K = 2)) (Inter… 447.     2.87    156.   1.39e-89
2 TSLM(Beer ~ trend() + fourier(K = 2)) trend()  -0.340  0.0666   -5.11 2.73e- 6
3 TSLM(Beer ~ trend() + fourier(K = 2)) fourie…   8.91   2.01      4.43 3.45e- 5
4 TSLM(Beer ~ trend() + fourier(K = 2)) fourie… -53.7    2.01    -26.7  4.10e-38
5 TSLM(Beer ~ trend() + fourier(K = 2)) fourie… -14.0    1.42     -9.83 9.26e-15
# … with abbreviated variable names ¹​estimate, ²​std.error, ³​statistic
Code 
augment(modelo_fourier) |> features(.innov, box_pierce, lag = 8, dof = 5)
# A tibble: 1 × 3
  .model                                bp_stat bp_pvalue
  <chr>                                   <dbl>     <dbl>
1 TSLM(Beer ~ trend() + fourier(K = 2))    9.53    0.0230
Code 
augment(modelo_fourier) |> features(.innov, ljung_box, lag = 8, dof = 5)
# A tibble: 1 × 3
  .model                                lb_stat lb_pvalue
  <chr>                                   <dbl>     <dbl>
1 TSLM(Beer ~ trend() + fourier(K = 2))    10.4    0.0157

Tendência + Sazonalidade: Diagnóstico

O K = m/2 em fourier() especifica quantos pares de \(\sin()\) e \(\cos()\) utilizaremos na regressão. Como utilizamos o máximo (\(m = 4 \rightarrow K = 2\)), teremos exatamente os mesmos \(\hat{y}\)

Code 
head(cbind(augment(modelo_fourier)$.fitted, augment(modelo_dummy)$.fitted))
         [,1]     [,2]
[1,] 441.4602 441.4602
[2,] 406.4602 406.4602
[3,] 422.9580 422.9580
[4,] 513.2358 513.2358
[5,] 440.0991 440.0991
[6,] 405.0991 405.0991
  • Teste utilizando \(K = 1\).
  • Quando \(m\) for grande, utilizar variáveis de Fourier é mais utilizado.
  • Quando \(m\) for pequeno, não há muitos ganhos em utilizar variáveis de Fourier.

Previsão

Previsão

  • Temos visto como usar modelos de regressão em um contexto de séries temporias, mas nada foi dito sobre como fazer previsão \(h\) passos à frente.
  • Sabemos que, com os \(\hat{\beta}s\), podemos obter os valores estimados \(\hat{y}_t\) ( \(t = 1, \ldots, T\)) através da equação \[\hat{y}_t = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_{1,t} + \cdots + \hat{\beta}_k x_{k,t}.\]

Previsão

Mas, como fazer se estamos interessados em \(\hat{y}_{T+1|T}, \cdots, \hat{y}_{T+h|T}\)?

Em geral, quando trabalhamos com modelos da forma \[y_t = \beta_0 + \beta_1 x_{1,t} + \cdots + \beta_k x_{k,t} + e_t\] nunca conhecemos os valores de \(x_1, x_2, ..., x_k\) no futuro, exceto quando \(x_i\) é deterministico!.

Pense no modelo \[y_t = \beta_0 + \beta_1 x_{1,t} + \cdots + \beta_k x_{k,t} + e_t\] em que \(x_1 = t\), \(x_2 = t^2\), \(x_3 = D_{Fevereiro}\), \(x_4 = D_{Março}\), …. \(x_k = D_{Dezembro}\).

Basta obter \(\hat{\beta}\) (utilizando a informação disponível até o tempo \(T\)), utilizar os valores futuros das variáveis explicativas ( \(x_{1, T + h}, \ldots, x_{k, T + h}\) ) e fazer a previsão!.

Previsão

Utilizando o dataset aus_production do pacote fpp3, faremos a previsão \(h = 12\) passos à frente da produção de cerveja (Beer) na Austrália.

Code 
library(fpp3)
beer <- aus_production |> 
  select(Quarter, Beer) |> 
  filter(year(Quarter) > 1992)
autoplot(beer)

Code 
fit_beer <- beer %>% model(TSLM(Beer ~ trend() + season()))
report(fit_beer)
Series: Beer 
Model: TSLM 

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-42.1193  -7.7552  -0.5074   7.7665  22.3373 

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   439.41993    3.87255 113.471  < 2e-16 ***
trend()        -0.31359    0.07303  -4.294 5.98e-05 ***
season()year2 -34.79753    4.11473  -8.457 4.51e-12 ***
season()year3 -17.56209    4.17414  -4.207 8.09e-05 ***
season()year4  71.75149    4.17478  17.187  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 12.34 on 65 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9213, Adjusted R-squared: 0.9164
F-statistic: 190.1 on 4 and 65 DF, p-value: < 2.22e-16
Code 
fore_beer <- fit_beer %>% forecast(h = 12)
fore_beer
# A fable: 12 x 4 [1Q]
# Key:     .model [1]
   .model                          Quarter        Beer .mean
   <chr>                             <qtr>      <dist> <dbl>
 1 TSLM(Beer ~ trend() + season()) 2010 Q3 N(400, 168)  400.
 2 TSLM(Beer ~ trend() + season()) 2010 Q4 N(489, 168)  489.
 3 TSLM(Beer ~ trend() + season()) 2011 Q1 N(417, 168)  417.
 4 TSLM(Beer ~ trend() + season()) 2011 Q2 N(381, 168)  381.
 5 TSLM(Beer ~ trend() + season()) 2011 Q3 N(398, 170)  398.
 6 TSLM(Beer ~ trend() + season()) 2011 Q4 N(487, 170)  487.
 7 TSLM(Beer ~ trend() + season()) 2012 Q1 N(415, 170)  415.
 8 TSLM(Beer ~ trend() + season()) 2012 Q2 N(380, 170)  380.
 9 TSLM(Beer ~ trend() + season()) 2012 Q3 N(397, 172)  397.
10 TSLM(Beer ~ trend() + season()) 2012 Q4 N(486, 172)  486.
11 TSLM(Beer ~ trend() + season()) 2013 Q1 N(414, 172)  414.
12 TSLM(Beer ~ trend() + season()) 2013 Q2 N(379, 172)  379.
Code 
fore_beer %>% autoplot(beer)

Previsão

No exemplo anterior, vimos que fazer previsão quando as variáveis explicativas são determinísticas resume-se a:

  • Obter \(\hat{\beta}\),
  • Utilizar os valores das variáveis explicativas (\(x_i\)) no futuro (como as variáveis são determinísticas sempre temos esses valores!),
  • Utilizar o modelo e obter \(\hat{y}_{T+h|T}\).

Contudo, muito raramente o modelo terá apenas variáveis determinísticas!. Na prática, o modelo terá variaveis explicativas \(x_{k+1}, \ldots, x_{k+p}\) cujos valores no tempo \(T+h\) não são conhecidos no tempo \(T\) 😨.

Previsão

O modelo que estou utilizando tem variáveis que não são determinísticas, e agora?

  • Utilizar previsões das variáveis preditoras utilizadas no modelo.
  • Trabalhar com cenários.

Previsão

Assumimos diferentes cenários para as variáveis explicativas no modelo:

  • Se o IPCA aumetar, em média 0.8% nos próximos meses, o volume de vendas nas festas de final de ano será de…
  • Se até final do ano o PIB aumentar em x%, a previsão da taxa de desempregados no Brasil será de …..
  • Se o número de vacinados contra a COVID-19 no Brasil aumentar em x%, a receita com turismo interno no Brasil será de ….

Em todos os casos temos apenas cenários, não há garantia que isso acontecerá mas, se acotecer, temos um valor esperado de como irá se comportar o fenômeno de interesse ao longo do tempo.

Previsão

Code 
modelo <- us_change %>% model(lm = TSLM(Consumption ~ Income + Savings + Unemployment))
# Criando os cenários
cenarios <- scenarios(
  caso1 = new_data(us_change, 4) |>  # pega o dataset e cria 4 novas observacoes
            mutate(Income = c(1, 1.1, 1.2, 1.3),           # Criando cenário para Income 
                   Savings = c(0.5, 0.52, 0.54, 0.56),     # Criando cenário para Savings 
                   Unemployment = c(0, 0.05, 0.10, 0.15)), # Criando cenário para Unemployment 
  caso2 = new_data(us_change, 4) |>  # pega o dataset e cria 4 novas observacoes
            mutate(Income = -c(1, 1.1, 1.2, 1.3),           # Criando cenário para Income 
                   Savings = -c(0.5, 0.52, 0.54, 0.56),    # Criando cenário para Savings 
                   Unemployment = -c(0, 0.05, 0.10, 0.15)))
fc <- forecast(modelo, new_data = cenarios)
fc
# A fable: 8 x 8 [1Q]
# Key:     .scenario, .model [2]
  .scenario .model Quarter   Consumption  .mean Income Savings Unemployment
  <chr>     <chr>    <qtr>        <dist>  <dbl>  <dbl>   <dbl>        <dbl>
1 caso1     lm     2019 Q3   N(1, 0.098)  0.996    1      0.5          0   
2 caso1     lm     2019 Q4 N(1.1, 0.099)  1.06     1.1    0.52         0.05
3 caso1     lm     2020 Q1 N(1.1, 0.099)  1.11     1.2    0.54         0.1 
4 caso1     lm     2020 Q2 N(1.2, 0.099)  1.17     1.3    0.56         0.15
5 caso2     lm     2019 Q3 N(-0.46, 0.1) -0.464   -1     -0.5          0   
6 caso2     lm     2019 Q4 N(-0.52, 0.1) -0.523   -1.1   -0.52        -0.05
7 caso2     lm     2020 Q1 N(-0.58, 0.1) -0.582   -1.2   -0.54        -0.1 
8 caso2     lm     2020 Q2 N(-0.64, 0.1) -0.641   -1.3   -0.56        -0.15

Previsão

Code 
us_change %>%
  autoplot(Consumption) +
  autolayer(fc) +
  labs(title = "US consumption", y = "Variação percetual")

Previsão

O que foi feito?

# A tibble: 4 × 6
  .model term         estimate std.error statistic  p.value
  <chr>  <chr>           <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl>
1 lm     (Intercept)    0.266    0.0341       7.81 3.57e-13
2 lm     Income         0.757    0.0396      19.1  1.91e-46
3 lm     Savings       -0.0537   0.00292    -18.4  2.55e-44
4 lm     Unemployment  -0.313    0.0678      -4.62 7.06e- 6

\[\widehat{\text{Consumption}}_{T+h} = 0.266 + 0.757 \text{Income}_{T+h} -0.0537 \text{Savings}_{T+h} -0.313 \text{Unemployment}_{T+h}\]

Quando construimos cenários, estamos definindo valores hipotéticos para os diferentes valores de \(\text{Income}_{T+h}\), \(\text{Savings}_{T+h}\) e \(\text{Unemployment}_{T+h}\). Assim, basta substituir esse valores na Equação e pronto!.

Não lineariedades

Não lineariedades

Sabemos que existem várias formas de incluir não lineariedades nos modelos de regressão:

  • Aplicar \(\log()\).
  • Incluir variáveis ao quadrado (ou cubo).
  • Efeitos de interação.

Todas essas técnicas continuam sendo válidas quando trabalhamos com modelos de regressão em um contexto de séries temporais. Contudo, existem também outras formas de lidar com a não lineariedade.

Não lineariedades

Em geral, queremos modelos da forma \(y = f(x) + e\)

Em lugar de termos \(f(x) = \beta_0 + \beta_1 x\), podemos fazer \(f()\) linear por partes. Ou seja, incluimos pontos (que chamaremos de knots ou nós) nos quais a pendente de \(f()\) pode mudar. Isto pode ser feito fazendo

  • \(x_1 = x\),
  • \(x_2 = (x - c)_{+} = \begin{cases} 0 & x < c \\ x - c & x \geq c \end{cases}\)

Em geral, podemos fazer:

\[x_1 = x, \quad x_2 = (x - c_1)_{+}, \quad, \cdots, x_k = (x-c_k)_{+}.\]

Um modelo de regressão dessa forma é chamado de regressão por splines.

Não lineariedades

O dataset boston_marathon do pacote fpp3 contém informações sobre o tempo (em segundos) dos ganhadores da maratona ao longo dos anos de 5 categorias diferentes.

Code 
boston_men <- boston_marathon %>% 
  filter(Event == "Men's open division") %>%
  mutate(Minutos = as.numeric(Time)/60) %>% 
  select(Year, Minutos)
glimpse(boston_men)
Rows: 123
Columns: 2
$ Year    <int> 1897, 1898, 1899, 1900, 1901, 1902, 1903, 1904, 1905, 1906, 19…
$ Minutos <dbl> 175.1667, 162.0000, 174.6333, 159.7333, 149.3833, 163.2000, 16…
Code 
ggplot(data = boston_men) + 
  geom_line(aes(x = Year, y = Minutos)) + 
  ylab("Minutos") + xlab("Ano")

Code 
# Obs: O percurso da maratona foi modificado em 1924 (de 24.5 milhas para 26.2 milhas), consideraremos somente dados de 1924 em diante.
boston_men <- boston_men %>% filter(Year >= 1924)
ggplot(data = boston_men) + geom_line(aes(x = Year, y = Minutos)) + ylab("Minutos") + xlab("Ano")

Code 
modelos <- boston_men %>%
  model(linear = TSLM(Minutos ~ trend()),
        exponencial = TSLM(log(Minutos) ~ trend()),
        spline = TSLM(Minutos ~ trend(knots = c(1950, 1980))))
previsoes <- forecast(modelos, h = 12)
previsoes
# A fable: 36 x 4 [1Y]
# Key:     .model [3]
   .model  Year    Minutos .mean
   <chr>  <dbl>     <dist> <dbl>
 1 linear  2020 N(123, 22)  123.
 2 linear  2021 N(123, 22)  123.
 3 linear  2022 N(122, 22)  122.
 4 linear  2023 N(122, 22)  122.
 5 linear  2024 N(122, 22)  122.
 6 linear  2025 N(121, 22)  121.
 7 linear  2026 N(121, 22)  121.
 8 linear  2027 N(121, 22)  121.
 9 linear  2028 N(120, 22)  120.
10 linear  2029 N(120, 22)  120.
# … with 26 more rows
Code 
boston_men %>%
  autoplot(Minutos) +
  geom_line(data = fitted(modelos),
            aes(y = .fitted, colour = .model)) +
  autolayer(previsoes) +
  labs(y = "Minutos", x = "Ano")

Quando trabalhamos com um modelo com splines, podemos passar no argumento knots tanto as posições exatas dos nós, quanto o número de nós. Nesse último caso, a posição do nó será calculada automaticamente.

Procedimentos automáticos ajudam, mas não estão isentos de erro.

Comentários finais

Comentários finais

  • Quando temos muitos preditores, é commum querermos selecionar apenas alguns (os melhores). Para isto, considere o seguinte:
    • Evite escolher o preditor apenas do gráfico de dispersão vs. preditor (não sempre é possível ver esta relação)
    • Evite escolher apenas pelo \(p-valor\) (se tivermos variáveis correlacionadas, o \(p-valor\) pode ser enganoso).
    • Escolha segundo algumas medidas de desempenho (AIC, AICc, CV).
    • Stepwise.
    • Regularização.

Comentários finais

Previsão ex-ante

  • Ex-ante: antes do evento.
  • Utilizando a informação disponível até o tempo \(T\), fazer previsão para o tempo \(T+h\) (fazemos a previsão para \(T+h\) antes de \(T+h\) acontecer)

Previsão ex-post

  • Ex-post: depois do evento.
  • Utilizando informação disponível até o tempo \(T\), fazer “previsão” para o tempo \(t\) ( \(t < T\)).

Referências

Carlos Trucíos (IMECC/UNICAMP) | ME607 - Séries Temporais | ctruciosm.github.io