Modelos de Regressão e Previsão (ACA228)

class: center, middle, inverse, title-slide

# Modelos de Regressão e Previsão (ACA228)
## Revisão de MAD211
### Prof. Carlos Trucíos <br><a href="http://ctruciosm.github.io"> <i class="fa fa-desktop fa-fw"></i>  ctruciosm.github.io</a><br> <a href="mailto:carlos.trucios@facc.ufrj.br"><i class="fa fa-paper-plane fa-fw"></i>  carlos.trucios@facc.ufrj.br</a><br>
### Faculdade de Administração e Ciências Contábeis, </br> Universidade Federal de Rio de Janeiro

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layout: true

<a class="footer-link" href="http://ctruciosm.github.io">ctruciosm.github.io &mdash; Carlos Trucíos (FACC/UFRJ)</a>

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<div>
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  let tries = 0
  function addLogo () {
    if (typeof slideshow === 'undefined') {
      tries += 1
      if (tries < 10) {
        setTimeout(addLogo, 100)
      }
    } else {
      document.querySelectorAll('.remark-slide-content:not(.title-slide):not(.inverse):not(.hide_logo)')
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        })
    }
  }
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', addLogo)
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# Revisão

Antes de estudarmos com detalhe métodos mais sofisticados, precisamos entender/revisar alguns conceitos básicos que nos acompanharão ao longo do curso:

#### Estatística descritiva  
#### Distribuições de probabilidade
#### Testes de Hipóteses

.pull-right[
![](imagens/RPythonJulia.png)

]

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# Estatística descritiva
---

## Estatística descritiva

.panelset[
.panel[.panel-name[Dataset]

| promoted| sales| customer_rate| performance|
|--------:|-----:|-------------:|-----------:|
|        0|   594|          3.94|           2|
|        0|   446|          4.06|           3|
|        1|   674|          3.83|           4|
|        0|   525|          3.62|           2|
|        1|   657|          4.40|           3|
|        1|   918|          4.54|           2|
|        0|   318|          3.09|           3|
|        0|   364|          4.89|           1|
|        0|   342|          3.74|           3|
|        0|   387|          3.00|           3|
|        0|   527|          2.43|           3|
|        1|   716|          3.16|           3|
|        0|   557|          3.51|           2|
|        0|   450|          3.21|           3|
|        0|   344|          3.02|           2|
|        0|   372|          3.87|           3|
|        0|   258|          2.49|           1|
|        0|   338|          2.66|           4|
|        0|   410|          3.14|           2|
|        1|   937|          5.00|           2|
|        1|   702|          3.53|           4|
|        0|   469|          4.24|           2|
|        0|   535|          4.47|           2|
|        0|   342|          3.60|           1|
|        1|   819|          4.45|           2|
|        1|   736|          3.94|           4|
|        0|   330|          2.54|           2|
|        0|   274|          4.06|           1|
|        0|   341|          4.47|           2|
|        1|   717|          2.98|           2|
|        0|   478|          3.48|           2|
|        0|   487|          3.74|           1|
|        0|   239|          2.47|           4|
|        1|   825|          3.32|           3|
|        0|   400|          3.53|           2|
|        1|   728|          2.66|           3|
|        1|   773|          4.89|           3|
|        0|   425|          3.62|           1|
|        1|   943|          4.40|           4|
|        0|   510|          2.56|           3|
|        0|   389|          3.34|           4|
|        0|   270|          2.56|           2|
|        1|   945|          4.31|           4|
|        0|   497|          3.02|           3|
|        0|   329|          2.86|           3|
|        0|   389|          2.98|           4|
|        0|   475|          3.39|           3|
|        0|   383|          2.36|           2|
|        1|   432|          2.33|           3|
|        1|   619|          1.94|           3|
|        1|   578|          4.17|           4|
|        0|   411|          3.07|           4|
|        0|   445|          3.00|           3|
|        0|   440|          3.62|           2|
|        0|   359|          3.92|           1|
|        0|   419|          3.85|           3|
|        1|   840|          5.00|           4|
|        0|   393|          4.49|           1|
|        1|   754|          3.74|           3|
|        0|   441|          4.75|           2|
|        1|   803|          4.89|           3|
|        0|   444|          4.15|           2|
|        1|   753|          5.00|           4|
|        1|   688|          4.29|           2|
|        0|   431|          4.29|           4|
|        0|   511|          3.74|           2|
|        0|   464|          2.22|           3|
|        0|   473|          3.57|           2|
|        0|   532|          3.74|           1|
|        0|   280|          3.41|           2|
|        0|   342|          3.71|           2|
|        0|   320|          2.15|           3|
|        0|   531|          3.41|           4|
|        0|   373|          2.01|           2|
|        0|   547|          4.40|           1|
|        1|   611|          4.03|           4|
|        1|   825|          4.66|           2|
|        0|   431|          3.62|           3|
|        0|   401|          3.69|           2|
|        0|   517|          4.20|           3|
|        1|   803|          4.15|           3|
|        0|   586|          5.00|           1|
|        0|   444|          3.21|           4|
|        1|   693|          3.80|           3|
|        1|   659|          4.20|           1|
|        0|   416|          3.87|           3|
|        0|   423|          2.75|           3|
|        1|   756|          3.55|           4|
|        0|   245|          2.52|           2|
|        0|   419|          3.76|           2|
|        1|   757|          3.11|           3|
|        1|   617|          4.33|           1|
|        1|   909|          3.21|           3|
|        0|   516|          2.47|           1|
|        0|   317|          1.51|           1|
|        0|   425|          3.53|           3|
|        0|   528|          4.63|           2|
|        0|   416|          3.37|           1|
|        1|   645|          4.08|           2|
|        0|   390|          3.16|           4|
|        0|   393|          3.76|           1|
|        0|   394|          3.07|           2|
|        0|   387|          3.87|           3|
|        0|   450|          3.62|           3|
|        0|   487|          3.46|           3|
|        1|   607|          2.49|           4|
|        0|   369|          2.22|           1|
|        0|   489|          4.98|           2|
|        0|   324|          3.05|           3|
|        0|   417|          4.47|           1|
|        1|   694|          1.90|           2|
|        1|   651|          5.00|           4|
|        0|   395|          3.46|           2|
|        0|   442|          2.29|           1|
|        0|   422|          4.54|           3|
|        0|   404|          4.06|           3|
|        0|   381|          3.37|           4|
|        0|   501|          4.77|           4|
|        1|   944|          5.00|           2|
|        1|   753|          4.43|           3|
|        0|   591|          4.93|           4|
|        1|   735|          4.03|           4|
|        1|   538|          3.05|           3|
|        0|   451|          4.49|           2|
|        0|   477|          3.87|           3|
|        0|   436|          4.13|           2|
|        1|   738|          3.05|           3|
|        1|   902|          5.00|           4|
|        0|   464|          3.90|           1|
|        1|   944|          3.92|           4|
|        0|   285|          3.53|           3|
|        0|   453|          4.68|           2|
|        0|   382|          3.51|           2|
|        0|   414|          2.03|           2|
|        0|   335|          3.71|           3|
|        1|   935|          5.00|           3|
|        0|   203|          2.72|           2|
|        0|   348|          5.00|           3|
|        1|   800|          4.24|           2|
|        0|   436|          3.51|           3|
|        0|   360|          3.23|           1|
|        1|   674|          4.47|           3|
|        0|   425|          2.43|           3|
|        1|   901|          2.70|           3|
|        0|   453|          4.98|           2|
|        0|   350|          3.00|           3|
|        0|   362|          2.89|           2|
|        0|   486|          3.41|           1|
|        0|   471|          4.38|           2|
|        0|   459|          5.00|           3|
|        0|   506|          5.00|           3|
|        0|   262|          2.70|           2|
|        1|   825|          4.95|           3|
|        0|   291|          2.54|           2|
|        1|   464|          2.70|           3|
|        1|   802|          3.78|           2|
|        1|   818|          4.24|           3|
|        1|   736|          3.78|           3|
|        0|   364|          4.01|           3|
|        0|   308|          4.82|           1|
|        1|   862|          4.17|           4|
|        0|   349|          1.67|           4|
|        0|   375|          3.05|           2|
|        0|   423|          2.54|           3|
|        1|   938|          3.69|           3|
|        0|   456|          2.91|           1|
|        0|   517|          5.00|           2|
|        0|   373|          2.93|           1|
|        1|   898|          2.26|           4|
|        1|   777|          4.86|           3|
|        0|   470|          4.84|           3|
|        0|   545|          3.94|           4|
|        1|   699|          2.66|           4|
|        1|   697|          4.06|           3|
|        0|   300|          1.94|           2|
|        1|   677|          4.63|           3|
|        0|   497|          3.14|           1|
|        1|   669|          4.56|           4|
|        1|   596|          4.98|           2|
|        0|   492|          4.24|           3|
|        0|   346|          2.20|           2|
|        1|   590|          4.17|           2|
|        0|   592|          2.20|           3|
|        1|   780|          4.15|           4|
|        0|   432|          4.15|           2|
|        0|   418|          4.01|           2|
|        1|   662|          4.56|           4|
|        1|   678|          4.49|           3|
|        1|   716|          3.44|           3|
|        0|   330|          3.05|           1|
|        0|   414|          3.83|           1|
|        0|   416|          2.79|           2|
|        0|   403|          2.75|           1|
|        0|   362|          2.03|           3|
|        0|   284|          4.20|           3|
|        0|   363|          4.72|           1|
|        1|   655|          3.39|           3|
|        0|   597|          4.08|           3|
|        1|   794|          3.83|           3|
|        1|   818|          2.70|           1|
|        0|   409|          3.44|           1|
|        1|   681|          3.97|           1|
|        1|   606|          1.83|           3|
|        0|   489|          4.47|           2|
|        0|   475|          4.56|           3|
|        0|   590|          4.43|           3|
|        0|   396|          4.86|           2|
|        0|   420|          5.00|           2|
|        1|   857|          3.85|           2|
|        0|   371|          2.77|           2|
|        0|   421|          3.39|           3|
|        1|   828|          1.37|           4|
|        0|   594|          3.05|           1|
|        0|   533|          4.86|           2|
|        0|   462|          2.98|           2|
|        0|   392|          3.85|           3|
|        0|   475|          3.83|           3|
|        1|   752|          4.89|           2|
|        1|   659|          1.97|           2|
|        1|   650|          3.14|           2|
|        0|   496|          4.31|           3|
|        0|   211|          2.52|           1|
|        1|   898|          3.51|           3|
|        0|   388|          2.54|           1|
|        0|   383|          2.47|           2|
|        0|   455|          2.36|           3|
|        0|   319|          3.21|           4|
|        1|   756|          3.09|           3|
|        0|   377|          2.08|           3|
|        1|   940|          2.82|           3|
|        1|   757|          3.55|           3|
|        0|   469|          3.85|           3|
|        0|   394|          3.57|           1|
|        0|   484|          2.86|           2|
|        0|   491|          3.44|           4|
|        0|   547|          5.00|           2|
|        0|   519|          3.34|           4|
|        1|   739|          3.99|           3|
|        0|   479|          4.06|           2|
|        1|   943|          3.21|           4|
|        1|   742|          4.17|           2|
|        0|   357|          2.72|           1|
|        0|   432|          3.80|           3|
|        0|   584|          3.78|           2|
|        1|   595|          3.74|           2|
|        0|   401|          2.86|           3|
|        0|   460|          4.45|           2|
|        1|   753|          4.89|           2|
|        0|   466|          5.00|           2|
|        0|   362|          2.26|           2|
|        0|   361|          2.66|           2|
|        0|   338|          4.03|           3|
|        1|   882|          2.63|           3|
|        0|   293|          3.51|           2|
|        1|   922|          4.15|           1|
|        1|   793|          4.08|           2|
|        1|   787|          2.56|           3|
|        0|   400|          3.34|           2|
|        0|   516|          5.00|           4|
|        0|   295|          3.87|           2|
|        0|   307|          1.00|           1|
|        0|   151|          2.31|           2|
|        0|   441|          3.34|           2|
|        0|   406|          3.25|           1|
|        0|   270|          4.10|           2|
|        1|   680|          3.09|           4|
|        1|   662|          4.77|           2|
|        0|   347|          3.62|           3|
|        0|   453|          4.86|           1|
|        0|   309|          3.00|           1|
|        0|   592|          4.79|           2|
|        0|   540|          3.41|           4|
|        1|   886|          4.68|           3|
|        0|   420|          5.00|           4|
|        1|   718|          4.03|           4|
|        0|   284|          3.69|           2|
|        0|   323|          1.85|           3|
|        0|   513|          4.20|           3|
|        1|   841|          5.00|           4|
|        0|   362|          2.38|           1|
|        1|   842|          3.99|           3|
|        0|   321|          3.25|           1|
|        0|   516|          2.89|           3|
|        0|   428|          3.28|           4|
|        0|   383|          2.98|           3|
|        1|   521|          3.23|           1|
|        0|   358|          3.09|           2|
|        0|   489|          3.41|           3|
|        0|   252|          1.69|           2|
|        1|   720|          3.76|           3|
|        1|   610|          2.75|           4|
|        1|   871|          5.00|           2|
|        0|   594|          4.75|           3|
|        0|   522|          4.59|           2|
|        0|   379|          1.83|           3|
|        0|   454|          4.29|           2|
|        0|   450|          3.69|           2|
|        0|   317|          2.66|           2|
|        1|   835|          3.90|           1|
|        0|   297|          2.61|           4|
|        0|   516|          3.90|           3|
|        0|   355|          3.41|           2|
|        1|   858|          3.67|           3|
|        0|   305|          1.99|           3|
|        0|   410|          1.37|           3|
|        1|   707|          2.38|           1|
|        1|   798|          4.72|           3|
|        0|   265|          3.48|           2|
|        1|   576|          3.60|           3|
|        0|   448|          3.18|           1|
|        0|   590|          4.77|           3|
|        0|   456|          4.03|           3|
|        1|   930|          4.22|           4|
|        0|   412|          4.10|           2|
|        0|   286|          3.64|           1|
|        0|   440|          2.29|           1|
|        0|   546|          3.55|           1|
|        0|   385|          2.66|           3|
|        0|   544|          3.48|           1|
|        0|   505|          2.89|           1|
|        1|   732|          3.57|           2|
|        0|   506|          4.36|           3|
|        0|   394|          2.79|           4|
|        1|   674|          3.60|           2|
|        0|   458|          3.39|           4|
|        0|   251|          3.32|           2|
|        0|   429|          3.41|           1|
|        0|   348|          3.69|           3|
|        1|   789|          3.71|           3|
|        1|   795|          4.31|           1|
|        0|   509|          4.61|           3|
|        1|   754|          4.33|           4|
|        0|   580|          4.70|           1|
|        0|   289|          3.57|           3|
|        0|   390|          2.01|           3|
|        1|   787|          3.14|           1|
|        0|   241|          3.05|           2|
|        0|   522|          4.72|           2|
|        0|   412|          5.00|           2|
|        0|   359|          5.00|           2|
|        0|   489|          4.86|           3|
|        1|   940|          5.00|           4|
|        0|   592|          4.38|           4|
|        1|   796|          5.00|           3|
|        1|   653|          5.00|           3|
|        0|   459|          2.82|           3|
|        0|   586|          3.41|           2|
|        0|   401|          1.60|           3|
|        0|   500|          4.17|           2|
|        0|   373|          2.54|           1|
|        0|    NA|            NA|          NA|

]

.panel[.panel-name[Importando dados no R]

```r
# Importando dados
url = "http://peopleanalytics-regression-book.org/data/salespeople.csv"
salespeople = read.csv(url)
# Visualisando as primeiras observacoes
head(salespeople)
```

```
##   promoted sales customer_rate performance
## 1        0   594          3.94           2
## 2        0   446          4.06           3
## 3        1   674          3.83           4
## 4        0   525          3.62           2
## 5        1   657          4.40           3
## 6        1   918          4.54           2
```
]
]

---

# Estatística descritiva

Sejam `$x_1, \ldots, x_n$`, `$n$` observações de uma caracteristica (numérica) de interesse. A **média** é o valor promedio das observações e é definido como:

`$$\bar{x} = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i}{n}.$$`

```r
mean(salespeople$sales, na.rm = TRUE)
```

```
## [1] 527.0057
```

> A média é intuitiva e fácil de entender/explicar, mas é afetada por observações extremas.

---

# Estatística descritiva

Sejam `$x_{(1)}, x_{(2)}, \ldots, x_{(n)}$` os valores ordenados (de menor a maior) de `$x_1, \ldots, x_n$`. A **médiana** é  o valor _do meio_ dos dados ordenados.

`$$Mediana(x)=
\begin{cases}
x_{\big(\frac{n+1}{2}\big)}, & \text{se } n \text{ for impar}\\ 
\dfrac{x_{\big(\frac{n}{2}\big)} + x_{\big(\frac{n}{2} + 1\big)}}{2}, & \text{se } n \text{ for par}.
\end{cases}$$`

```r
median(salespeople$sales, na.rm = TRUE)
```

```
## [1] 475
```

> A mediana é robusta a observações atípicas

---

# Estatística descritiva

A **variância** é uma medida de variabilidade (em torno da média) dos dados. Quanto maior a variância, maior é a variabilidade.

`$$\hat{\sigma}^2_x = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$`

```r
var(salespeople$sales, na.rm = TRUE)
```

```
## [1] 34308.11
```

> A variância, por estar em `unidades ao quadrado` é dificil de interpretar e na prática é preferido o desvio padrão (raiz quadrada da variância).

---

# Estatística descriptiva

O **desvio padrão** é outra medida de variabilidade. Quanto maior o valor, maior é a variabilidade. É definido como a raiz quadrada da variância.

`$$\hat{\sigma}_x = \sqrt{\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$$`

```r
sd(salespeople$sales, na.rm = TRUE)
```

```
## [1] 185.2245
```

> A vantagem do desvio padrão sobre a variância é que esta medida de variabilidade está na escala original dos dados.

---
# Estatística descriptiva

A **covariância** mede o grau de associação entre 2 variáveis,

`$$cov(x,y) = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y})}{n-1}$$`

```r
cov(salespeople, use = "complete.obs")
```

```
##                  promoted       sales customer_rate performance
## promoted       0.21924683    73.81763    0.07561293  0.11891117
## sales         73.81763406 34308.11458   55.81769120 49.40687679
## customer_rate  0.07561293    55.81769    0.79581959  0.05008596
## performance    0.11891117    49.40688    0.05008596  0.90974212
```

> Covariância igual a zero indica que as variáveis não tem nenhum grau de associação. 
> A desvantagem da covariância é que não tem valor mínimo nem máximo.

---
# Estatística descriptiva

O **coeficiente de correlação de Pearson**( `$\rho_{x,y}$` ) também mede o grau de associação entre 2 variáveis (numéricas), mas `$-1 \leq \rho_{x,y} \leq 1$`

`$$\rho(x,y) = \dfrac{cov(x,y)}{\hat{\sigma}_x \hat{\sigma}_y}$$`

```r
cor(salespeople, use = "complete.obs")
```

```
##                promoted     sales customer_rate performance
## promoted      1.0000000 0.8511283    0.18101815  0.26625444
## sales         0.8511283 1.0000000    0.33780504  0.27965966
## customer_rate 0.1810182 0.3378050    1.00000000  0.05886397
## performance   0.2662544 0.2796597    0.05886397  1.00000000
```

> Correlação zero indica ausencia de associação entre as variáveis, valores próximos a 1(-1) indicam associação direta (inversa) entra as variáveis.

---
# Estatística descriptiva

- Os quantis também podem ser utilizados
- Quando trabalhamos com variáveis qualitativas, calcular tabelas de frequência pode ser bastante útil.
- Histogramas, gráficos de barras, boxplots e gráficos de dispersão são bastante úteis no EDA.

.panelset[
.panel[.panel-name[Histograma]
![](ACA228_01_files/figure-html/unnamed-chunk-9-1.png)
]

.panel[.panel-name[Boxplot]
![](ACA228_01_files/figure-html/unnamed-chunk-10-1.png)
]
.panel[.panel-name[Gráfico de Barras]
![](ACA228_01_files/figure-html/unnamed-chunk-11-1.png)
]
.panel[.panel-name[Gráfico de dispersão]
![](ACA228_01_files/figure-html/unnamed-chunk-12-1.png)
]
]

---
class: inverse, right, middle
# Distribuições de probabilidade.
---

# Distribuições de probabilidade

.panelset[
.panel[.panel-name[Dist. Normal]
![](ACA228_01_files/figure-html/unnamed-chunk-13-1.png)
]
.panel[.panel-name[Dist. T]
![](ACA228_01_files/figure-html/unnamed-chunk-14-1.png)
]
.panel[.panel-name[Dist. F]
![](ACA228_01_files/figure-html/unnamed-chunk-15-1.png)
]
]

---
# Distribuições de probabilidade

.panelset[
.panel[.panel-name[Dist. Normal]
![](ACA228_01_files/figure-html/unnamed-chunk-16-1.png)

```r
c(qnorm(0.05), qnorm(0.5), qnorm(0.975)) # R
```

```
## [1] -1.644854  0.000000  1.959964
```

]
.panel[.panel-name[Dist. T com 7 g.l]
![](ACA228_01_files/figure-html/unnamed-chunk-18-1.png)

```r
c(qt(0.05, df = 7), qt(0.5, df = 7), qt(0.975, df = 7)) # R
```

```
## [1] -1.894579  0.000000  2.364624
```
]
.panel[.panel-name[Dist. F com 7 e 13 g.l]
![](ACA228_01_files/figure-html/unnamed-chunk-20-1.png)

```r
c(qf(0.05, df1 = 7, df2 = 13), qf(0.5, df1 = 7, df2 = 13), qf(0.975, df1 = 7, df2 = 13)) # R
```

```
## [1] 0.2816630 0.9552032 3.4826693
```
]
]

---
# Distribuições de probabilidade

- Sejam `$X_1, X_2, \ldots, X_n$` v.as `$\sim N(\mu, \sigma)$`, então `$$\dfrac{(\bar{X}_n - \mu)}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$$`

- Quando não conhecemos `$\sigma$` e substituimos este valor por `$\hat{\sigma}$`, temos que `$$\dfrac{(\bar{X}_n - \mu)}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$$`

- Sejam `$X_1 \ldots, X_{n_x} \sim N(\mu_x, \sigma_x)$` e sejam `$Y_1 \ldots, Y_{n_y} \sim N(\mu_y, \sigma_y)$`. Então `$$F = \dfrac{\hat{\sigma}_x^2/\sigma_x^2}{\hat{\sigma}_y^2/\sigma_y^2} \sim F_{n_x-1,n_y-1},$$` em que `$\hat{\sigma}_x^2$` e `$\hat{\sigma}_y^2$` são a variâncias amostral de `$X_1 \ldots, X_{n_x}$` e `$Y_1 \ldots, Y_{n_y}$`, respectivamente.

---
# Distribuições de probabilidade

### Teorema Central do Limite (TCL)

Sejam `$X_1, X_2, \ldots, X_n$` (para `$n$` grande) v.as **independentes** e **identicamente distribuidas** com `$E(X_1) = \mu$` e `$V(X_1) = \sigma^2 < \infty$`. Então, `$$\dfrac{(\bar{X}_n - \mu)}{\sigma/\sqrt{n}} \sim_{aprox} N(0,1)$$`

---
class: inverse, right, middle
# Testes de hipóteses:
---

# Testes de hipóteses

> Estamos interessados em verificar se, com base nos dados da nossa amostra, podemos **rejeitar ou não rejeitar** um determinada afirmação **(hipótese)** sobre um estado da natureza (parâmetro de interesse).

#### Para fazer um teste de hipótese precisamos:

1. Definir um nível de significância `$\alpha$`
2. Construir a estatística de teste
3. Comparar o valor da estatística de teste o quantil teórico da distribuição (sob `$H_0$`)
4. Tomar uma decisão em função da comparação feita anteriormente

---

## Teste para a média populacional.

Sejam as hipóteses `$$H_0: \mu = \mu_0 \quad vs. H_1: \mu \neq \mu_0$$`

Nossa estatística de teste é da forma `$$t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$$`

Assim, para um nível de significância `$\alpha$`, rejeitamos `$H_0$` se `$$\Big| t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\hat{\sigma}/ \sqrt{n}}\Big | > t_{1 - \alpha/2,n-1}$$`

> Podemos também fazer testes unilaterais

---

## Teste para a média populacional.

**Ejemplo**: Sejam as hipótestes `$$H_0: \mu = 4 \quad vs. \quad H_1: \mu \neq 4, \quad \text{ em que} \mu \text{ é a média do customer_rate}$$`

```r
alpha = 0.05
t.test(salespeople$customer_rate, mu = 4, alternative = "two.sided", conf.level = 1-alpha)
```

```
## 
## 	One Sample t-test
## 
## data:  salespeople$customer_rate
## t = -8.2232, df = 349, p-value = 3.955e-15
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 4
## 95 percent confidence interval:
##  3.514101 3.701670
## sample estimates:
## mean of x 
##  3.607886
```

```r
qt(1-alpha/2, 349)
```

```
## [1] 1.966785
```

---

## Teste para a média populacional.

Sejam as hipóteses

.pull-left[
`$$H_0: \mu \leq \mu_0 \quad vs. \quad H_1: \mu > \mu_0$$`
]

.pull-right[
`$$H_0: \mu \geq \mu_0 \quad vs. \quad H_1: \mu < \mu_0$$`
]

Nossa estatística de teste é da forma `$$t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$$`

Assim, para um nível de significância `$\alpha$`, rejeitamos `$H_0$` se

.pull-left[
`$$t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\hat{\sigma}/ \sqrt{n}} > t_{1 - \alpha,n-1}$$`
]

.pull-right[
`$$t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\hat{\sigma}/ \sqrt{n}} < t_{\alpha,n-1}$$`
]

---

## Teste para a média populacional.

**Ejemplo**: Sejam as hipótestes `$$H_0: \mu \leq 3 \quad vs. H_1: \mu > 3, \quad \text{em que } \mu \text{ é a média do customer_rate}$$`

```r
alpha = 0.05
t.test(salespeople$customer_rate, mu = 3, alternative = "greater", conf.level = 0.95)
```

```
## 
## 	One Sample t-test
## 
## data:  salespeople$customer_rate
## t = 12.748, df = 349, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is greater than 3
## 95 percent confidence interval:
##  3.529244      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##  3.607886
```

```r
qt(1-alpha, 349)
```

```
## [1] 1.649231
```

---
class: inverse, right, middle
# Esperança Condicional:
---

## Esperança Condicional

Seja `$X$` e `$Y$` duas variáveis aleatórias com função de densidade conjunta `$$f_{X,Y}(x,y),$$` e marginais `$f_X(x) = \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)dy$` e `$f_Y(y) = \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)dx$`.

A função de densidade condicional de `$Y$` dado `$X=x$` é definida como `$$f_{Y|X=x}(y|x) = \dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}$$`

A esperança condicional de `$Y$` dado `$X$`, denotada como `$E(Y|X)$`, é uma função de `$X$`, cujo valor quando `$X = x$` é dado por `$$E(Y|x) ) \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} y f_{Y|X=x}(y|x)dy$$`

ou seja `$E(Y|x)$` é média da distribuição condicional de `$Y$` dado `$X=x$`

---

# Esperança Condicional

Como `$E(Y|X)$` depende de `$X$` e `$X$` é uma variavel aleatória, `$E(Y|X)$` também é uma variável aleatória e podemos então calcular seu valor esperado.

### Teorema

Para quaisquer variáveis aleatórias `$X$` e `$Y$`, temos que `$$E(E(Y|X)) = E(Y) \quad ou \quad E(E(X|Y)) = E(X)$$`

### Propriedades

---

## Esperança Condicional

Para ilustrar melhor o conceito de **esperança condicional**, veremos um exemplo simples no caso discreto.

**Ejemplo:** Sejam `$X$` e `$Y$` duas variáveis aleatórios discretas com função de probabilidade conjunta dada da seguinte forma

|        | X = 0 | X = 1 |      |
|:------:|:-----:|:-----:|:----:|
| Y = 0  | 2/20  | 6/20  |      |
| Y = 1  | 6/20  | 9/20  |      |
|        |       |       | 1    |

Calcule `$E(Y)$`, `$$E(Y) = \displaystyle \sum_y yp(y) = 0 \times 2/5 + 1 \times 3/5 = 3/5$$`

Calcule `$E(Y|X = 0)$`,

---

## Esperança Condicional

1. Precisamos calcular a função de probabilidade de `$Y|X=0$`
2. Calcular o valor esperado `$E(Y|X = 0)$`

**Calculando a função de probabilidade condicional**

`$$p_{X,Y}(Y = y|X=0) = \dfrac{p_{X,Y}(y,X=0)}{p_X(X=0)}$$`
--

A função de probabilidade de `$Y|X=0$` é dada por

|                  |                 |
|:----------------:|:---------------:|
| Y = 0 / X = 0    | (2/20)/(8/20) = 1/4 |
| Y = 1 / X = 0    | (6/29)/(8/20) = 3/4 |
|                  |                      |

`$$E(Y|X=0) = \displaystyle \sum_y y p_{Y|X=0}(y|X=0) = 0\times 1/4 + 1 \times 3/4 = 3/4$$`

`$$E(Y|X=0) = 3/4 \neq 3/5 = E(Y)$$`
---
class: inverse, center, middle
# Os conceitos vistos aqui são a base para ACA228

### Caso precisar, pode acessar à playlist de MAD211/2020.2 [Aqui](https://www.youtube.com/playlist?list=PLrqJCLOY0EkDsfP4n9UD91-Gh1cMjceRP)